ВАРІАНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ МЕТОДОМ ПОЛІПАРАМЕТРИЗАЦІЇ

 0  4  4

ПРОБЛЕМИ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
ВАРІАНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ МЕТОДОМ ПОЛІПАРАМЕТРИЗАЦІЇ
УДК 004.925.8

ВАНІН Володимир Володимирович
д.т.н., професор, декан фізико-математичного факультету, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ «Київський політехнічний інститут».
Наукові інтереси: математичне та комп’ютерне моделювання об’єктів і процесів машинобудування.
ВІРЧЕНКО Галина Іванівна
здобувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ «Київський політехнічний інститут». Наукові інтереси: варіантне геометричне моделювання технічних об’єктів.
ВІРЧЕНКО Сергій Геннадійович
магістрант кафедри автоматизованого проектування енергетичних процесів і систем НТУУ «Київський політехнічний інститут». Наукові інтереси: автоматизоване проектування технічних об’єктів.

ВСТУП Нині для комп’ютерного моделювання багатьох технічних об’єктів у якості базових складових широко використовуються різноманітні аналітичні поверхні в параметричній формі [1]. Узагальненням даного напрямку є напрацьовані на кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” структурнопараметричний [2] і комбінаторно-варіаційний [3] підходи до автоматизованого варіантного формоутворення. Зазначена методологія застосовується також під час багатовимірної візуалізації [4] та структурно-параметричної оптимізації виробів [5]. Зараз актуальними в галузі окресленої наукової тематики постають питання варіантної динамічної побудови геометричних фігур, зокрема, для забезпечення ефективного комп’ютерного моделювання технологічних процесів виготовлення промислової продукції.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Метою даної публікації є подання запропонованого авторами методу поліпараметризації для варіантного динамічного формоутворення геометричних об’єктів,

який спирається на структурно-параметричний і комбінаторно-варіаційний підходи та є одним із напрямків їх подальшого розвитку. При цьому головне завдання полягає у викладенні не тільки загального опису поставленої задачі, розроблених способів та прийомів її розв’язання, але й наведення конкретних прикладів їх практичної реалізації. Зазначена методика дозволяє достатньо ґрунтовно висвітлити сутність отриманих нових науково-прикладних результатів.

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

Для ілюстрації методу поліпараметризації застосо-

вуватимемо такі фігури як точки, лінії, поверхні та тіла,

що знаходяться у тривимірному просторі.

За наведених умов положення довільної точки від-

носно деякої системи координат визначається упоряд-

кованою множиною, тобто радіус-вектором із трьома

компонентами
r  (u, v, w),

(1)

де u, v, w – координати або параметри положення в

термінах структурно-параметричного підходу до фор-

моутворення геометричних об’єктів.

76

# 16 (2014)

Очевидно, що в залежності від використовуваних

систем координат (декартової, циліндричної, сферичної

і т. д.) значення компонентів радіус-вектора r у формулі

(1) для певної точки можуть змінюватися. Наприклад,

для системи координат:

– декартової
u  x, v  y, w  z,

(2)

де x, y, z – відстані;

– циліндричної
u  , v  , w  z,

(3)

де , z – відстані,  – кут;

– сферичної
u  , v  , w ,

(4)

де  – відстань,  ,  – кути.

Співвідношення між параметрами положення в різ-

них системах координат є відомими й наведені в літе-

ратурних джерелах. Варіантні дефініції (2) … (4) роз-

ташування точки у тривимірному просторі демонстру-

ють застосування методу поліпараметризації для мо-

делювання цієї фігури.

Поширимо розглянуті прийоми на лінії у векторній

формі

r  r(u),

(5)

де u[0, 1] – проміжок змінювання параметра.

Примітка. Використання у формулі (5) одиничного

відрізка для значень u не обмежує її загального харак-

теру, оскільки залежність r(t), де параметр t[tmin, tmax],

визначається як r(t(u)), де u[0, 1], на підставі виразу

t(u)=(1-u)tmin+utmax. Не будемо також наголошувати на

можливості подання співвідношення (5) у вигляді

r=r(u)=r(f(t)), де f – деяка аналітична функція, оскільки

головною ціллю даної публікації є акцентування уваги

на структурних аспектах запропонованого методу,

тобто застосування в ньому певної множини ділянок

параметризації та їх дефініції. Зазначене вище повною

мірою надалі стосується також поверхонь і тіл, які ана-

лізуються.

За основу для класифікації досліджуваних способів

варіантного формоутворення оберемо прийоми, що

систематизовані згідно з кортежем наступних його

властивостей:

В  (Вi )13,

(6)

де В1=(неперервність), В2=(напрям), В3=(характер

ділянок параметризації).

Нехай елементи множини (6) мають вигляд

В1  (В11, В12 )  (формоутворення непервне, формоутворення дискретне), В2  (В21, В22 )  (однонаправлене, багатонаправлене),
В3  (В31, В32 )  (сталі ділянки параметризації, змінні ділянки параметризації) .

(7)

Тоді, на підставі кортежів (7), окреслені способи мо-

делювання визначаються декартовим добутком

С  В1  В2  В3  (Сi )18 ,

(8)

де С1=(формоутворення неперервне однонаправле-

не зі сталими ділянками параметризації),

С2=(формоутворення неперервне однонаправле-

не зі змінними ділянками параметризації),

С3=(формоутворення неперервне багатонаправ-

лене зі сталими ділянками параметризації),

С4=(формоутворення неперервне багатонаправ-

лене зі змінними ділянками параметризації),

С5=(формоутворення дискретне однонаправлене

зі сталими ділянками параметризації),

С6=(формоутворення дискретне однонаправлене

зі змінними ділянками параметризації),

С7=(формоутворення дискретне багатонаправ-

лене зі сталими ділянками параметризації),

С8=(формоутворення дискретне багатонаправ-

лене зі змінними ділянками параметризації).

Проаналізуємо кілька прикладів.

Відповідно до виразів (2) та (5) у декартовій системі

координат прямолінійний відрізок із кінцями в точках

P0(x0, y0, z0) і P1(x1, y1, z1) подамо як

r(u)  (1  u)P0  uP1 , u  [0, 1].

(9)

Для варіантної динамічної побудови цієї фігури за-

стосуємо деяку множину ділянок параметризації

Д  (Дi )1NД .

(10)

Тоді, на підставі співвідношень (8) … (10), можна

використати для:

 способу С1 – ділянки Дi=(ui[(i-1)/Nд, i/Nд]),

Дi=(ui[(Nд-i+1)/Nд, (Nд-i)/Nд]);

77

ПРОБЛЕМИ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

i
 (m -1)
 способу С2 – ділянки Дi=(ui[ m1 L ,

i

i  (m -1)



m1 L

]), де L  NД  (m -1) ;
m 1

 способу С3 – ділянки Дi=(ui[(-1)/Nд,

/Nд]) при непарних i, ділянки Дi=(ui[(Nд-

+1)/Nд, (Nд-)/Nд]) при парних i, де Nд=2m,

mN, < > – округлення ненатурального числа до най-

ближчого більшого натурального;

 способу С5 – ділянки Дi=(ui[2(i-1)/Nд, (2i-1)/Nд]),

де i=1…[(Nд+1)/2];

2i 1
 (m -1)
 способу С6 – ділянки Дi=(ui[ m1 L ,

2i 1

2i 1 (m -1)

m 1
L

]),

де


L  NД  (m -1) , m 1

i=1…[(Nд+1)/2];

 і т. д.

З наведених вище прикладів видно, що для способу

С1 застосовано сталі ділянки параметризації з величи-

нами, які дорівнюють 1/Nд; у способі С2 кожна наступна

ділянка збільшується, порівняно з попередньою, на

довжину першої; для способу С3 побудови здійснюються

почергово в напрямах із різних кінців відрізка й завер-

шуються в його середині; у способах С5 та С6 ділянки для

візуалізації відрізка використовуються через одну,

створюючи відповідну дискретну (штрихову) лінію.

За аналогією реалізується поліпараметричне моде-

лювання й інших кривих вигляду (5), оскільки останні є

топологічно еквівалентними проаналізованому відріз-

ку прямої.

Поширимо викладені способи і прийоми запропо-

нованого геометричного методу на динамічну побудо-

ву поверхонь у векторній формі
r  r(u, v),

(11)

де u[0, 1], [0, 1] – проміжки змінювання па-

раметрів.

Співвідношення (11) можна розглядати як

топологічне відображення у тривимірний простір плос-

кого одиничного квадрата зі сторонами u та , тобто

таке, що конкретній парі значень (ui, i) даної фігури

відповідає певна точка Pi досліджуваної поверхні, на-

приклад, із декартовими координатами xi, yi, zi. На

підставі цього подамо далі деякі варіанти поліпарамет-

ризації зазначеного квадрата.

Шляхом узагальнення виразу (10) одержуємо

Д



(Дi,

j

)

N Дu , 1,

N Дv 1



(Дn

)

N

Дu N 1

Дv





n

)

NД 1

,

(12)

де Nдu, Nдv – кількість ділянок параметризації

вздовж параметрів u та .

Згідно з формулами (8), (11) та (12) можна застосу-

вати для:

 способу С1 – ділянки Дi,j=(ui[(i-1)/Nдu, i/Nдu],

vj[(j-1)/Nдv, j/Nдv]);
i
(m -1)
 способу С2 – ділянки Дi,j=(ui[ m1 Lu ,

ij

i  (m -1)

(m -1)

m 1
Lu

], vj[ m1 Lv

,

j

j   (m -1)

m 1
Lv

]), де

NДu NДv
 Lu  NДu  (m -1) , Lv  NДv  (m -1) ; m 1 m 1

 способу С3 – ділянки Дi,1=(ui[(-1)/Nдu,

/Nдu], v1[0, 1]) при непарних i, ділянки

Дi,1=(ui[(Nдu-+1)/Nдu, (Nдu-)/Nдu], v1[0,

1]) при парних i, де Nдu=2m, mN, Nдv=1, < > – округ-

лення ненатурального числа до найближчого більшого

натурального;

 способу С5 – ділянки Дi,j=(ui[2(i-1)/Nдu, (2i-

1)/Nдu], vj[2(j-1)/Nдv, (2j-1)/Nдv]), де

i=1…[(Nдu+1)/2], j=1…[(Nдv+1)/2];

 тощо.

Аналогічним чином тіла, що визначені у векторній

формі залежностями
r  r(u,v, w),

(13)

де u[0, 1], [0, 1], w[0, 1] – проміжки зміню-

вання параметрів, можна розглядати як різноманітні

топологічні відображення у тривимірному просторі

одиничного куба з вимірами u,  та w. Тому далі наве-

демо кілька прикладів поліпараметризації зазначеної

фігури.

У даному випадку, узагальнюючи співвідношення

(12), маємо

78

# 16 (2014)

Д = ( Д ) =NДu ,NДv ,NДw i , j ,k 1 , 1 , 1

= ( Дn

)N Дu ⋅N Дv ⋅N Дw 1

= ( Дn

)N Д 1

,

(14)

де Nдu, Nдv, Nдw – кількість ділянок параметризації вздовж параметрів u,  та w.

Відповідно до виразів (8), (13) та (14) можна вико-

ристати для:

 способу С1 – ділянки Дi,j,k =(ui[(i-1)/Nдu, i/Nдu],

vj[(j-1)/Nдv, j/Nдv], wk[(k-1)/Nдw, k/Nдw]);
i
(m -1)
 способу С2 – ділянки Дi,j,k=(ui[ m1 Lu ,

i
i  (m -1)

jj
(m -1) j   (m -1)

m 1
Lu

],

vj[

m 1
Lv

,

m 1
Lv

], wk[

kk

 (m -1) k   (m -1)

NДu

m1
Lw

,

m1
Lw

]), де Lu  NДu  (m -1) , m 1

NДv NДw
 Lv  NДv  (m -1) , Lw  NДw  (m -1) ; m 1 m1

 способу С5 – ділянки Д1,1,k=(u1[0, 1], v1[0, 1],

wk[2(k-1)/Nдw, (2k-1)/Nдw]), де k=1…[(Nдw+1)/2]];

 і т.д.

Отже, в поданому вище матеріалі викладено базові

теоретичні основи запропонованого методу поліпара-

метричного варіантного динамічного формоутворення

у тривимірному просторі таких об’єктів як точки, лінії,

поверхні та тіла, наведено ряд прикладів практичного

застосування розроблених способів і прийомів, обґрун-

товано їх інваріантний характер щодо геометричного моделювання конкретних фігур.
ВИСНОВКИ Під час комп’ютерного моделювання багатьох технічних виробів, із метою їх комплексної оптимізації, нині широко використовуються різноманітні спеціалізовані методології, зокрема, структурнопараметричний та комбінаторно-варіаційний підходи до формоутворення, що напрацьовані школою прикладної геометрії Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут». Наукова новизна даної публікації полягає в розвитку зазначеного напрямку стосовно варіантного динамічного геометричного моделювання таких об’єктів як точки, лінії, поверхні та тіла. Виконані дослідження дозволи розробити достатньо універсальний метод формоутворення, інваріантний до конкретних фігур тривимірного простору, що доволі просто реалізується комп’ютерними засобами та може бути включений, як окремий модуль, до складу відповідного прикладного програмного забезпечення. Окреслена у статті тематика потребує проведення подальших наукових розвідок і впровадження отриманих результатів у практику, наприклад, для візуалізації технологічних процесів виготовлення промислової продукції в середовищі систем автоматизованого проектування.

ЛІТЕРАТУРА:
1. Krivoshapko S.N. Enciklopedija analiticheskih poverhnostej [Tekst] /S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. – M.: Knizhnyj dom «LIBROKOM», 2010. – 560 s.
2. Vanіn V.V. Strukturno-parametrichnі modelі jak zasіb іntegracії avtomatizovanogo proektuvannja suchasnogo lіtaka [Tekst] /V.V. Vanіn, G.A. Vіrchenko //Vіsnik Khersons'kogo nacіonal'nogo tehnіchnogo unіversitetu. – Vip.3 (50). – Kherson: KNTU, 2014. – S.571-574.
3. Vanin V.V. Primenenie kombinatorno-variacionnogo podhoda dlja komp'juternogo geometricheskogo modelirovanija inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij [Tekst] /V.V. Vanin, S.L. Shambina, V.G. Virchenko //Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. – #4. – M.: RUDN, 2013. – S.3-8.
4. Vіrchenko G.A. Vikoristannja strukturno-parametrichnogo pіdhodu dlja komp’juternoї vіzualіzacії bagatovimіrnih geometrichnih ob’єktіv [Tekst] /G.A. Vіrchenko //Tehnіchna estetika і dizajn. – Vip.7. – K.: Vіpol, 2010. – S.68-73.
5. Tong L. Structural topology optimization with implicit design variable-optimality and algorithm [Text] /L. Tong, J. Lin //Finite Elements in Analysis and Design. – August 2011. – Vol. 47. – Issue 8. – P.922-932.
Рецензент: д.т.н., проф. Тулученко Г.Я., Херсонський національний технічний університет.

79

ВАРІАНТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ МЕТОДОМ ПОЛІПАРАМЕТРИЗАЦІЇ

Livre