DISSERTAÇÃO DE MESTRADO OBTIDA POR Gerson Filippini O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO À ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA E

  

ENGENHARIA DE MATERIAIS - PGCEM

  Formação: Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais DISSERTAđấO DE MESTRADO OBTIDA POR

  Gerson Filippini

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO À ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  Apresentada em 26 / 11 / 2004 perante a Banca Examinadora: Dr. Miguel Vaz Júnior - Presidente (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS) Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC)

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA –DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA E

  

ENGENHARIA DE MATERIAIS - PGCEM

  Formação: Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais DISSERTAđấO DE MESTRADO OBTIDA POR

  Gerson Filippini

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  Apresentada em 26 / 11 / 2004 perante a Banca Examinadora: Dr. Miguel Vaz Júnior - Presidente (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS) Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC)

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM CIÊNCIA

  

E ENGENHARIA DE MATERIAIS – PGCEM

DISSERTAđấO DE MESTRADO

Mestrando: GERSON FILIPPINI – Engenheiro Mecânico

Orientador: Prof. Dr. MIGUEL VAZ JÚNIOR

  

Co-orientador: Prof. Dr. RENATO BARBIERI

CCT/UDESC – JOINVILLE

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIDADE PLANA EM MATERIAL ISOTRÓPICO

  DISSERTAđấO APRESENTADA PARA OBTENđấO DO TễTULO DE MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA, CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT, ORIENTADA PELO PROF. DR. MIGUEL VAZ JÚNIOR.

  Joinville 2004

  UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT COORDENAđấO DE PốS-GRADUAđấO Ố CPG

O MÉTODO DE VOLUMES FINITOS APLICADO A ELASTICIDADE PLANA

  " EM MATERIAL ISOTRÓPICO "

  por

Gerson Filippini

  Essa dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  na área de concentração "Metais", e aprovada em sua forma final pelo CURSO DE MESTRADO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE MATERIAIS

  DO CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA

  Dr. Miguel Vaz Júnior (presidente) (UDESC) Dr. Guillermo Juan Creus (UFRGS)

  Banca Examinadora:

  Dr. Pablo Andrés Munõz Rojas (UDESC) Dr. Renato Barbieri (UDESC) FICHA CATALOGRÁFICA NOME: FILIPPINI, Gerson DATA DEFESA: 26/11/2004 LOCAL: Joinville, CCT/UDESC

NÍVEL: Mestrado Número de ordem: 41 – CCT/UDESC

FORMAđấO: Ciência e Engenharia de Materiais ÁREA DE CONCENTRAđấO: Metais TÍTULO: O Método de Volumes Finitos Aplicado a Elasticidade Plana em Material Isotrópico PALAVRAS - CHAVE: Método de Volumes Finitos, Material Isotrópico, Simulação Numérica.

  NÚMERO DE PÁGINAS: x, 93p. CENTRO/UNIVERSIDADE: Centro de Ciências Tecnológicas da UDESC PROGRAMA: Pós-graduação em Ciência e Engenharia de Materiais - PGCEM CADASTRO CAPES: 4100201001P-9 ORIENTADOR: Miguel Vaz Júnior CO-ORIENTADOR: Renato Barbieri PRESIDENTE DA BANCA: Miguel Vaz Júnior

MEMBROS DA BANCA: Dr. Renato Barbieri, Dr. Pablo Andrés Muñoz Rojas e Dr. Guillermo

  Juan Creus

  Dedico este trabalho ao S ENHOR J ESUS e a meus Pais.

AGRADECIMENTOS

  Ao Prof. Dr. Miguel Vaz Júnior, pelo seu empenho em orientar e balizar o andamento do trabalho, não medindo esforços para esclarecer minhas dúvidas, corrigir meus pontos falhos e me amparar com amor fraternal. Ao Prof. Dr. Renato Barbieri, pela sua prontidão todas as vezes que o procurei para orientar em aspectos de sua competência.

  Ao Prof. Dr. Pablo A. Muñoz Rojas, pelo seu empenho e participação na área de elementos finitos através do software MANEH e também pela sua prontidão em sanar dúvidas de sua competência. A todos professores do Curso de Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais e do curso de Engenharia Mecânica, já que propiciaram que eu pudesse realizar este trabalho. À Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC e ao Programa de Pós- graduação em Ciência e Engenharia de Materiais - PGCEM por possibilitar a realização do presente trabalho. Ao Centro de Ciências Tecnológicas e ao Departamento de Engenharia Mecânica pela infraestrutura oferecida.

  Ao Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná – CEFET-PR, por possibilitar um horário de trabalho compatível com o desenvolvimento deste trabalho.

  A meus Pais, Olimpio e Libera, que nunca mediram esforços para proporcionar uma educação com bases sólidas, despendendo esforços desde minha formação primária até o presente trabalho. A minha esposa, Graziella e filhos, Gabriell e Gabriella por terem suplantado a dor da distância e proporcionado alegria a cada retorno.

  A meu irmão Francisco Filippini e sua família que de forma, direta ou muitas vezes indireta, contribuíram para que eu pudesse chegar ao presente trabalho.

  Aos amigos, Romário e Conceição pela sua hospitalidade, compreensão e amizade a mim despendida ao longo dos anos que os conheci.

  

SUMÁRIO

SÍMBOLOS................................................................................................................... IV

LISTA DE FIGURAS .....................................................................................................V

LISTA DE TABELAS ............................................................................................... VIII

RESUMO ...................................................................................................................... IX

ABSTRACT ....................................................................................................................X

CAPễTULO 1 - INTRODUđấO .....................................................................................1

  3.3 - E

  4.2 - F ORMULAđỏES DAS E QUAđỏES DE E LEMENTOS F

  ISTÓRICO ............................................................................................................25

  4.1 - H

  

CAPÍTULO 4 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.........................................25

  ......................................................................23

  ONTORNO

  V ALOR DE C

  ROBLEMA A

  3.5 - P

  3.4.1 - Modelo da Lei de Hooke Generalizada..........................................................21 3.4.2 - Estado Plano de Tensão ................................................................................22 3.4.3 - Estado Plano de Deformação ........................................................................23

  3.4 - L EIS C ONSTITUTIVAS ............................................................................................20

  3.3.1 – Equilíbrio Translacional...............................................................................19 3.3.2 - Equilíbrio Rotacional ....................................................................................20

  .............................19

  QUAđỏES PARA O EQUILễBRIO LOCAL NA FORMA DIFERENCIAL

  3.2.1 - Tensor Tensão de Cauchy..............................................................................17

  1.1 - O BJETIVO DA DISSERTAđấO ....................................................................................2 1.2 - P ANORAMA DA DISSERTAđấO ..................................................................................2

  ..............................................15

  AUCHY

  C

  

ENSOR DE

  T

  QUILÍBRIO E O

  E

  RINCÍPIOS DE

  3.2 – P

  INEMÁTICA PARA P EQUENAS D EFORMAđỏES .......................................................14

  3.1 - C

  

CAPÍTULO 3 – MECÂNICA DO CONTÍNUO...........................................................13

  2.1 - D ETALHAMENTO DE ARTIGOS ..................................................................................4

  

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..............................................................4

  INITOS ........................................26

  4.3 - E QUAđấO D

  IFERENCIAL DOS D ESLOCAMENTOS .....................................................28 4.3.1 - Equações de equilíbrio para o estado plano de deformação ..........................29

  4.4 – A PLICAđấO DO M ÉTODO DE G ALERKIN ................................................................31

  4.4.1 – Método de Galerkin Aplicado à Elasticidade Plana ......................................32

  4.5 – E SQUEMAS DE S UAVIZAđấO PARA T ENSÕES ..........................................................34

  4.5.1 - Tensões obtidas diretamente no nó ................................................................35 4.5.3 - Tensões obtidas por suavização local ............................................................36 4.5.4 - Tensões obtidas por suavização global..........................................................38

  

CAPÍTULO 5 – MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS..............................................40

  5.1 - H ............................................................................................................40

  ISTÓRICO

  5.2 – C ONSISTÊNCIA , E STABILIDADE E C ONVERGÊNCIA .................................................41 5.3 – O M ÉTODO DOS

  V OLUMES F

  INITOS A PLICADO A E LASTICIDADE P LANA ................41 5.3.1 – Discretização das Equações de Governo ......................................................42 5.3.2 – Solução das Equações Discretizadas ............................................................51 5.3.3 – Solução do Sistema de Equações – Algoritmo Iterativo.................................53 5.3.4 – Cálculo das Tensões nos Nós ........................................................................55

  5.4 – C ONSIDERAđỏES F

  INAIS S OBRE O MVF................................................................55

CAPÍTULO 6 – PROBLEMAS PROPOSTOS.............................................................56

  IGA B

  I ENGASTADA COM D ESLOCAMENTO P RESCRITO ........................................56

  • 6.1 – V

  6.1.1 – Estudo de convergência do MVF ..................................................................57 6.1.2 – Mapas de diferenças MVF – MEF ................................................................59

  IGA B

  I ENGASTADA COM D ESLOCAMENTO P RESCRITO EM A MBOS OS L ADOS ......60

  • 6.2 – V

  6.2.1 – Campos de tensões cisalhantes, equivalentes e normais ................................61 6.2.2 – Campos de diferenças nas tensões cisalhantes, equivalentes e normais.........63 6.2.3 – Tensões cisalhantes nas secções transversal e longitudinal...........................65 6.2.4 – Convergência no ponto de máxima tensão cisalhante ...................................68 6.2.5 – Tensões Calculadas pela Teoria de Vigas .....................................................69 6.2.6 – Razão de Aspecto..........................................................................................72

  6.3 – M E Z B S C ......................76

  ODO DE NERGIA ERO EM UMA ARRA UJEITA A OMPRESSÃO

  6.4 – C ONCLUSÕES S OBRE OS P ROBLEMAS P ROPOSTOS ..................................................80

  

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES...................................................................................82

  

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..........................................................................84

APÊNDICE ....................................................................................................................89

  A PÊNDICE A – E QUAđỏES D

  ISCRETIZADAS PARA

  V OLUMES DE C ONTROLE NA F RONTEIRA

  

DO P ROBLEMA ..............................................................................................................89

  A PÊNDICE B – D ERIVADAS PARA P ÓS -P ROCESSAMENTO DAS T ENSÕES NOS

  V OLUMES DA F RONTEIRA ...................................................................................................................99 A PÊNDICE C – T ABELAS DE DADOS UTILIZADOS EM GRÁFICOS .....................................101

  • – Área;
    • Tensor alternante;

  • – Área sujeita a força de superfície;

  F - Funcional;

  B - Tensor estado inicial de tensão (2 a

  orden); ijkl

  • Tensor de quarta ordem que contem as constantes elásticas do material;
  • Coeficiente de Poisson; i
  • Função genérica; x
  • 1
  • Tensão de flexão normal máxima em x sobre o engaste; máx xy
  • Tensão cisalhante máxima na linha neutra da viga;
  • Tensor identidade;

  C , C

  ) (x

  f

  f

  a

  derivada da função em x;

  • Integrando; Π - Energia potencial; i

  • Coeficientes da solução aproximada;

  M – Momento fletor; c n

  I

  P - Força agindo em um ponto i; L - Operador diferencial; u - Vetor solução; * u - Vetor solução aproximada; Q

  • Tensor deformação infinitesimal (2
    • – Distância da linha neutra até o ponto mais afastado na direção y;

  ρ - Massa específica; ijk

  N

  ,N

  i

  , W i - Funções de forma;

  w - Funções peso; [ ] K - Matriz rigidez;

  { } F - Vetor força; t e

  k e

  e

  P - Quantidade de movimento; H

  g - Vetor aceleração da gravidade;

  , n n - Vetor normal a uma superfície; i , e ou , 3 2 1 e e e - Vetores unitários; f

  

SÍMBOLOS

A

  a t

  u - Deslocamento; E - Módulo de elasticidade;

  ν

  , t t - Força de tração e compressão na

  superfície (força de contato);

  b - Vetor força de corpo; ij

  σ , - Tensor tensão; engaste xx

  σ

  σ

  I – Momento de inércia;

  I

  X x , - Coordenadas espaciais; t - Tempo;

  a

  orden);

  E - Tensor deformação de Green-

  Lagrange;

  • Momento da quantidade de movimento; i
    • – Espessura de um elemento bidimensional;
    • – Matriz rigidez de um elemento;

  detJ – Determinante do Jacobiano; [R], r – Resíduo; {u e } – Deslocamentos nodais para o elemento;

  • Vetor força de corpo;
  • Sistema de coordenadas paramétricas ij

  ξOη

  • – Força cortante no interior de uma viga; {f} – Vetor força global;

  σ~ - Tensão suavizada; G

  N

  ~

  • Funções de forma; [S

  e

  ] – Matriz de suavização do elemento; {f e } – Vetor força do elemento;

  [S] – Matriz de suavização global;

  V c

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Caso teste elaborado para comparar os MVF, MEF e solução exata

  [ZIENKIEWICZ, 1990]. ............................................................................................5

Figura 1.2 - Barra carregada axialmente. Convergência da solução para deslocamentos por

  VF usando vértice centrado para elementos lineares [ZIENKIEWICZ, 1990]. ............5 Figura 1.3 - Tensão radial.

  σ , e tempo de processamento [TAYLOR, 1999]. ..................7 rr

Figura 1.4 - Tração em uma lâmina com elemento bi-linear e estado plano de tensões

  [FALLAH, 2000]. ......................................................................................................8

Figura 1.5 - Curva força versus deslocamento para uma lâmina em tração [FALLAH,

  2000]..........................................................................................................................8

Figura 1.6 - Geometria da parede grossa de uma esfera [WHEEL, 1996]............................9Figura 1.7 - Comparação entre a solução analítica e a obtida pelo MVF para a tensão circunferencial e radial [WHEEL, 1996]...................................................................10Figura 1.8 - Intersecção entre cilindro esfera [WHEEL, 1996]. ........................................10Figura 1.9 - Tensão na intersecção cilindro esfera obtidos pelo MVF e pelo método analítico [WHEEL, 1996].........................................................................................11Figura 3.1 – Inter-relação das variáveis na solução de problemas estáticos de mecânica dos sólidos [CHEN, 1990]. .............................................................................................13Figura 3.2 – Deslocamento de um corpo. .........................................................................14Figura 3.3 - Tetraedro infinitesimal. .................................................................................17Figura 3.3 – Exemplo de definição de condições de contorno...........................................24Figura 4.1 – Corpo tridimensional [CHANDRUPATLA, 1991] .......................................27Figura 4.2 – Sistema de coordenadas naturais utilizado na extrapolação de tensões a partir dos pontos de Gauss. ................................................................................................36Figura 4.3 – Elemento bidimensional, parabólico e isoparamétrico (HINTON, 1974).......38Figura 5.1 – Domínio Genérico do Problema ...................................................................42Figura 5.2 – Volume de controle no interior do domínio ..................................................43Figura 5.3 – Interpolação linear numa superfície genérica A-B ........................................48Figura 5.4 – Estrutura da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais ..............51Figura 5.5 – Algoritmo de solução iterativo.....................................................................54Figura 6.1 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.......57Figura 6.2 - Convergência da solução para o método de Gauss Seidel k=1,950 e TDMA

  k =1,950. ...................................................................................................................58

Figura 6.3 – Efeito da variação do parâmetro de sobrerelaxação para os métodos TDMA e

  Gauss-Seidel. ...........................................................................................................58

Figura 6.4 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em x. ....59Figura 6.5 – Diferenças percentuais entre o MEF e MVF para os deslocamentos em y. ....59Figura 6.6 – Viga bi-engastada com deslocamento prescrito em ambas extremidades.......61Figura 6.7 – Mapa do campo de tensões normais na direção x. .........................................61Figura 6.8 – Mapa do campo de tensões normais na direção y. .........................................62Figura 6.9 – Mapa do campo de tensões cisalhantes. ........................................................62Figura 6.10 – Mapa do campo de tensões equivalentes.....................................................63Figura 6.11 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão cisalhante. ............63Figura 6.12 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para a tensão equivalente...........64Figura 6.13 – Diferenças absolutas entre o MEF e MVF para tensões normais em x.........64Figura 6.14 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante,

  τ , na seção xy longitudinal (central) da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam na tabela C.1 do apêndice C. ....................................................................................66

Figura 6.15 – Convergência da tensão cisalhante,

  τ , para MVF na seção longitudinal xy central da viga próxima ao engaste. Os valores destes gráficos constam na tabela C.2 do apêndice C...........................................................................................................67

Figura 6.16 – Comparação entre MEF e MVF para tensão cisalhante,

  τ , na seção xy transversal central da viga. Malha 6 x 60 elementos. Os valores destes gráficos constam na tabela C.3 do apêndice C........................................................................68

Figura 6.17 – Convergência dos valores da tensão cisalhante nos nós localizados em x=0,

  y=2,5 mm e em x=25 mm, y=2,5 mm. Os valores destes gráficos constam na tabela

  C.4 do apêndice C. ...................................................................................................70

Figura 6.18 – Elementos quadrangulares e triangulares com razão de aspecto boa e ruim.72Figura 6.19 – Comportamento da solução através do MVF para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.5 do apêndice C. ................74Figura 6.20 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.6 do

  apêndice C. ..............................................................................................................74

Figura 6.21 – Comportamento da solução através do MEF com elementos lineares para razões de aspecto 1:1, Suavização Global e diferentes refinos de malha. Os valores

  destes gráficos constam na tabela C.7 do apêndice C. ...............................................75

Figura 6.22 – Comportamento da solução através do MEF com elementos quadráticos para diferentes razões de aspecto. Os valores destes gráficos constam na tabela C.8 do

  apêndice C. ..............................................................................................................76

Figura 6.23 – Modelo de geometria assumida pelos elementos que apresenta padrão não físico. .......................................................................................................................77Figura 6.24 – Modos de movimento de corpo rígido, de deformação e de energia zero

  [HUGHES, 1987].....................................................................................................78 Figura 6. 25 – Barra sujeita a compressão, sistema de coordenadas, geometria, configuração deformada e detalhes de elementos......................................................79 Figura 6. 26 – Comparação entre o estado inicial e deformado das posições dos nós na coluna posicionada a x=2,5 mm para MEF-Integração reduzida. Os valores destes gráficos constam na tabela C.9 do apêndice C. .........................................................79

  Figura A.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema ..........................89 Figura B.1 – Volumes de controle na fronteira do domínio do problema e pontos usados no cálculo das derivadas................................................................................................99

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1 - Erros percentuais obtidos por Oñate et al. [OÑATE, 1994] para o MVF com esquemas de célula centrada e de vértice centrado para problema teste semelhante ao

  da figura 1.1 ...............................................................................................................6

Tabela 6.1 – Erro relativo entre resultados obtidos pela teoria de vigas e obtidos pelos métodos numéricos (MVF e MEF) para uma malha 8x80. ........................................71Tabela 6.2 – Casos utilizados no estudo da razão de aspecto ............................................73

  Tabela A.1 – Equações discretizadas para volumes da fronteira .......................................90 Tabela B.1 – Equacionamento para cálculo de derivadas com aproximação parabólica. .100 Tabela C.1 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.14.................................................101 Tabela C.2 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.15.................................................102 Tabela C.3 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.16.................................................102 Tabela C.4 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.17.................................................103 Tabela C.5 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.19.................................................104 Tabela C.6 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.20.................................................105 Tabela C.7 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.21.................................................106 Tabela C.8 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.22.................................................107 Tabela C.9 – Dados utilizados no gráfico da figura 6.26.................................................108

RESUMO

  O Método de Elementos Finitos (MEF) tem sido tradicionalmente aplicado a problemas mecânicos de análise de tensões, enquanto o Método de Volumes Finitos (MVF) tem sua aplicação principal em transferência de calor e mecânica dos fluidos. Nos últimos anos, o uso de Elementos Finitos em problemas de dinâmica dos fluidos tem mostrado um aumento substancial. Isso se deve não somente a sua conhecida facilidade de tratar geometrias complexas, mas também ao desenvolvimento de novas técnicas de estabilização de elementos. Por outro lado, o desenvolvimento de novas estratégias baseadas em malhas não estruturadas tem renovado o incentivo na aplicação do método de Volumes Finitos. O presente trabalho discute diversos aspectos relativos à aplicação do MVF a problemas de elasticidade plana com malhas estruturadas e cartesianas, com ênfase nas comparações entre as distribuições de tensões obtidas pelo MVF e aquelas calculadas pelo MEF a partir de diferentes esquemas de suavização. As análises são feitas para uma viga engastada em ambos lados com deslocamentos prescritos nas extremidades visando avaliar principalmente as tensões cisalhantes. Observou-se que o campo de tensões calculado pelo MVF apresenta menor diferença quando comparado com aquele obtido pelo MEF utilizando-se o esquema de suavização global. Ressalta-se que o problema é abordado pelo prisma de Volumes Finitos (discretização das equações de governo e métodos de solução) visando futura implementação em códigos já existentes para problemas de termofluidos, com vistas à aplicação a problemas de interação fluido- estrutura. Fez-se também uma verificação inicial da existência de modos espúrios em um problema compressivo e a influência da variação da razão de aspecto dos elementos sobre os resultados.

  Palavras-chave. Volumes Finitos, Elementos Finitos, Elasticidade plana.

ABSTRACT

  The Finite Elements Method (MEF) has been traditionally applied to stress analysis in solid mechanics, whereas the Finite Volume Method (MVF) has its main application in heat transfer and fluid flow analyses. In the last years, use of Finite Elements in fluid dynamics problems has shown a substantial increase due, not only to its well-known facility to handle complex geometries, but to the development of new element stabilisation techniques. On the other hand, the development of new models based on unstructured meshes has open new possibilities for application of the Finite Volume method. The present work addresses some aspects associated to the application of the MVF to plane elasticity, in which a discretisation procedure for Cartesian meshes is presented and comparisons between FEM and FVM for test problems are discussed. Emphasis is given to stress computation for Finite Volumes and comparisons to those obtained via recovery techniques for Finite Elements. The discretisation strategy and solution of the linear equation system have been approached under the classical FVM perspective, aiming at integration in existing Finite Volume codes. The analyses have been performed for a doubly-clamped beam with prescribed displacements in both ends, in which special attention is given to the shear stresses. It has been observed that the stresses evaluated using the MVF yields smaller differences when compared to the global smoothing method associated to the FEM. Furthermore, Finite Volumes has shown less susceptibility to poor aspect ratio then Finite Elements using linear shape functions. A qualitative analysis of the compression of a cylindrical billet has also shown no hourglass for Finite Volumes solutions.

  Palavras-chave. Finite Volume, Finite Elements, Plane Elasticity.

Capítulo 1 - Introdução

  A simulação numérica para solução de problemas de engenharia tem sido empregada de forma crescente pelas indústrias das mais diversas áreas: metal-mecânica, automotiva, aeronáutica, alimentos e meio ambiente, dentre outras, visando diminuir custos, agilizar processos e tomadas de decisão.

  Na solução de problemas que envolvem escoamento de fluidos, troca de calor, transferência de massa e deformação em materiais, é comum a utilização de métodos específicos, tais como o Método de Elementos Finitos (MEF), o Método de Volumes Finitos (MVF), o Método de Elementos de Contorno e o Método das Diferenças Finitas. Os métodos de Elementos Finitos e Volumes Finitos têm se sobressaído sobre os demais, sendo que o primeiro é utilizado com mais freqüência na área de Mecânica Estrutural Computacional (MEC), enquanto que o MVF é utilizado preferencialmente na área de Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD ).

  Diversos aplicativos comerciais, que utilizam MEF e MVF, têm sido desenvolvidos nos últimos anos. Para a solução de problemas de Mecânica Estrutural o MEF é tradicionalmente utilizado, cujos aplicativos mais comuns no Brasil são o ANSYS [ANSYS, 2004], ALGOR [ALGOR, 2004], MARC [MARC, 2004], NASTRAN [NASTRAN, 2004] e ABAQUS [ABAQUS, 2004]. No entanto, para a solução de problemas de CFD é comumente utilizado o MVF, cujos aplicativos mais comuns neste caso são o CFX [CFX, 2004] e o FLUENT [FLUENT, 2004].

  A preferência em utilizar o MEF para problemas de mecânica estrutural reside na sua facilidade de representar domínios com geometria complexa, através de malhas não estruturadas. Por outro lado, para problemas de dinâmica dos fluídos, apesar do MVF ter dificuldades na representação de geometrias complexas, este é conservativo (conservativo em relação as propriedades avaliadas), não somente no domínio do problema, mas também dentro de cada volume finito. Além disso, para problemas estruturais o MVF satisfaz a continuidade das tensões através das fronteiras dos elementos [WHEEL, 1996]. É interessante ressaltar que MEF (aplicando o método de Galerkin) satisfaz o equilíbrio numa média global dentro do domínio, mas não é conservativo nos elementos individuais.

  ∗ Comumente referenciada em inglês como Computational Fluid Dynamics - CFD

  Há mais de 50 anos que o MEF vem sendo utilizado em problemas de mecânica estrutural, porém, recentemente, tem surgido um interesse em desenvolver procedimentos para esta área que empreguem uma aproximação por MVF. Esse interesse vem do desejo de utilizar, em problemas estruturais, algoritmos amplamente testados no contexto de CFD, visando a solução acoplada da interação entre o movimento de fluidos e a deformação da estrutura. Como exemplo, pode-se citar os problemas de linhas de vapor sob pressão e vibrações induzidas por fluxos sobre estruturas flexíveis [WHEEL, 2003]. Esta estratégia permite a análise da interação entre escoamento fluido, transferência de calor e deformação da estrutura sob o mesmo foco do MVF, o que facilita grandemente o estudo das propriedades e variáveis acopladas do problema.

  Os estudos feitos sobre a aplicação do método de Volumes Finitos para problemas de mecânica estrutural têm, até a presente data, sido focalizados principalmente do ponto de vista do MEF. As abordagens tratam o MVF como um caso (uma classe) particular ou uma extensão do MEF.

  1.1 - Objetivo da dissertação

  O objetivo da presente dissertação é desenvolver um modelo em Volumes Finitos para problemas de elasticidade plana e avaliar seu desempenho através da análise de convergência e da comparação de soluções obtidas pelo MEF para problemas teste. Ressalta-se que a abordagem deste trabalho é feita do prisma da formulação clássica do MVF para problemas de dinâmica dos fluidos computacional (discretização das equações de governo e métodos de solução).

  1.2 - Panorama da dissertação

  Relaciona-se abaixo uma visão geral dos assuntos abordados em cada capítulo da dissertação. O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre a aplicação do método de Volumes Finitos a problemas de mecânica dos sólidos. O Capítulo 3 contém um breve estudo a respeito do problema de mecânica estrutural do ponto de vista de mecânica do contínuo. Os desenvolvimentos necessários à obtenção das equações de governo são apresentados, bem como estudos complementares das aproximações e considerações utilizadas.

  No Capítulo 4 aborda-se o MEF clássico, aplicado aos problemas de elasticidade plana para deformações infinitesimais. O Capítulo 5 apresenta o clássico MVF aplicado a problemas de dinâmica de fluidos. Na seqüência é mostrado o desenvolvimento do problema de análise de deformações infinitesimais na região elástica linear em sólidos e a discretização da equação de governo para o MVF.

  No Capítulo 6 são apresentados problemas propostos onde são avaliados mapas de diferenças entre as soluções apresentadas pelo MVF e pelo MEF, tanto para os campos de deslocamentos como para os campos de tensões. Também é feita a discussão de resultados.

  No Capítulo 7 tem-se a conclusão do trabalho.

Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica

  A revisão literária sobre os desenvolvimentos na área do método de volumes finitos aplicado a problemas de mecânica estrutural mostrou que existem poucas linhas de pesquisa neste assunto. Os estudos nesta área surgiram em meados de 1990 com Zienkiewicz e Oñate [ZIENKIEWICZ, 1990], intensificando um pouco em meados de 1995 e mantendo um ritmo constante até a atualidade.

  As pesquisas iniciais preocuparam-se principalmente com comparações entre as formulações dos dois métodos (MEF e MVF) aplicados a problemas de mecânica estrutural [ZIENKIEWICZ, 1990] e [IDELSOHN, 1993]. Pode-se considerar Oñate e Zienkiewicz como sendo os pesquisadores que impulsionaram inicialmente a abordagem do MVF aplicado MEC. A partir de então surgiram diversas pesquisas voltadas para problemas de placas e cascas [WHEEL, 1996], elasticidade e visco-plasticidade [TAYLOR, 1995], e termoelasticidade em materiais anisotrópicos [FAINBERG, 1996] dentre outras.

  Recentemente o foco de pesquisa nesta área tem se expandido, com aplicações envolvendo processos de soldagem [TAYLOR, 2002], conformação mecânica (extrusão e forjamento) [WILLIAMS, 2002], vasos de pressão [WHEEL, 1996], interação entre fluido e estrutura [SLONE, 2002], dinâmica dos sólidos (vibração) [SLONE, 2003], diferenças entre os métodos de diferenças finitas, volumes finitos e elementos finitos [YAMAMOTO, 2002] e estimativas para erro residual para o MVF [JASAK, 2003]. A seguir é apresentada uma breve retrospectiva a respeito do assunto, onde os artigos chave e seus pontos principais são discutidos visando uma melhor contextualização da presente dissertação.

  2.1 - Detalhamento de artigos

  A discussão sistemática foi iniciada por Zienkiewicz e Oñate [ZIENKIEWICZ, 1990] que aborda a comparação entre o método de Volumes Finitos e o de Elementos Finitos com a perspectiva de que o MVF é um caso particular do Método dos Resíduos

  (MRP). Foram avaliados os esquemas de célula centrada e vértice centrado

  Ponderados

  para volumes finitos, paralelamente com o MEF, para a solução exata do problema esboçado na figura 1.1.

Figura 1.1 - Caso teste elaborado para comparar os MVF, MEF e solução exata [ZIENKIEWICZ, 1990].

  A análise consiste de uma viga engastada com carregamento axial uniformemente distribuído. Os resultados são apresentados na figura 1.2 para a convergência da solução por Volumes Finitos usando vértice centrado. É visível que com o refinamento da malha a solução por Volumes Finitos usando vértice centrado tende aos valores da solução exata. O autor acrescenta a esta figura uma nota com relação a solução por Volumes Finitos utilizando célula centrada “Nota: A solução por Elementos Finitos e Volumes Finitos

  centrados na célula possuem soluções nodais exatas em todos os casos. ”.

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