Superfícies de Curvatura Média Constante Um no Espaço Hiperbólico

  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  

Superfícies de Curvatura Média Constante Um no

Espaço Hiperbólico

Márcio Silva Santos

  

Orientador: Prof. Dr. Feliciano Marcílio Aguiar Vitório

Maceió, Brasil

28 de Fevereiro de 2011

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

  

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

S237s Santos, Márcio Silva.

  

Superfícies de curvatura média constante um no espaço hiperbólico / Márcio

Silva Santos. – 2011. 91 f. : il. Orientador: Feliciano Marcílio Aguiar Vitório.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

Instituto de Matemática. Maceió, 2011. Bibliografia: f. 90-91.

1. Superfícies. 2. Curvatura média. 3. Espaço hiperbólico. 4. Representação weierstrass. I. Título.

  CDU: 514.763.4

  Aos meus pais Leônidas e Elenice e a minha esposa Thatiane.

  “Bem sei que tudo podes, e nenhum dos teus planos pode ser frustrado.”

  Jó 42:1-2 Agradecimentos

  X A Deus por tudo que tens feito em minha vida.

  X Ao professor Feliciano Vitório pela sua disposição em me ajudar neste trabalho e pelo incentivo em continuar meus estudos em nível de doutorado.

  X Aos professores Heudson Mirandola(UFRJ) e Marcos Petrúcio(UFAL) pelas correções e sugestões que muito contribuiram para a melhoria do trabalho.

  X Ao professor Jesus Zapata(PUCP) por suas valiosas sugestões.

  X A todos professores do Instituto de Matemática que diretamente ou indiretamente contribuiram neste trabalho.

  X Aos meus pais Leônidas e Elenice e meu irmão Wander, pois sem eles esta conquista não teria tanto prazer.

  X À minha amada esposa Thatiane por estar comigo nos momentos mais difíceis desta caminhada e por não me deixar nunca desistir. À minha sogra Maria Teles, que é bênção na minha vida, agradeço pelas palavras de incentivo e pelas orações.

  X Aos meus colegas de turma pela amizade, pelas conversas matemáticas e pelos momentos de descontração. Agradeço especialmente aos colegas Diogo Albuquerque, Rafael Nóbrega, Douglas Cedrim, Giovane Ferreira e Fábio Honorato vulgo ”Arapiraca”.

  X Finalmente, agradeço a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas(FAPEAL) pelo suporte financeiro.

  Resumo

  O ponto crucial do trabalho é a obtenção de uma representação holomorfa para superfícies de curvatura média um no espaço hiperbólico. Esta representação possui uma grande semelhança

  3 com a representação de Weierstrass para superfícies mínimas em R

  . A partir disso, obteremos uma gama de resultados acerca da teoria de superfícies de curvatura média um, completas e de

  3 curvatura total finita em H .

  Palavras-chave: Superfícies Mínimas, Espaço Hiperbólico, Representação de Weierstrass. Abstract

  In this work the crucial point is to obtain a holomorphic representation for mean curvature one surfaces in hyperbolic space. This representation has a great resemblance to the Weierstrass

  3 representation for minimal surfaces in R

  . From this, we obtain a range of results about the theory

  3 of mean curvature one surfaces complete and finite total curvature in H .

  Keywords: Minimal Surface, Hyperbolic Space, Weierstrass Representation. Sumário

  

  8

   10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33

  

   36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  38

  

  41

  

  

  53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  71

  88 Introdução

  Em 1987, o eminente matemático Robert Bryant publicou o artigo Surfaces of mean curvature one in hyperbolic space pela revista Asterisque. Neste artigo, mostrou que as superfícies

  3 de curvatura média constante um em H são projeções de curvas nulas em SL(2, C) e, assim, encontrou uma representação holomorfa de tais superfícies. Em essência, Bryant encontrou uma

  3 representação análoga a representação de Weierstrass para superfícies mínimas em R . Ademais,

  3 Bryant obteve resultados importantes sobre superfícies de curvatura média um em H com curvatura total finita e completa, estes resultados impulsionaram o estudo das superfícies de

  3 curvatura média um em H . Devido a grande importância do trablho de Bryant, as superfícies de

  3 curvatura média um em H são chamadas Superfícies de Bryant.

  No primeiro capítulo, apresentaremos as ferramentas básicas para uma boa compreensão do trabalho. Mais precisamente, faremos um breve estudo sobre alguns resultados de geometria riemanniana via método do referencial móvel.

  3 No segundo capítulo, faremos uma introdução da teoria de superfícies em H . Além disso,

  3 definiremos uma aplicação análoga a aplicação normal de Gauss em R e mostraremos o seguinte resultado:

  2 Proposição.

  A aplicação [e + e ] : M é conforme se, e só se, f é totalmente umbílica

  3 −→ S

  ∞ (neste caso [e + e ] reverte a orientação) ou f satisfaz H + e ] preserva a

  3

  3 ≡ 1(nesse caso [e orientação).

  No terceiro capítulo demonstraremos o teorema principal do trabalho. Segue abaixo o enunciado.

  2

  2 Teorema. Seja M uma superfície de Riemann e F : M −→ SL(2, C) uma imersão nula.

  2

  3

  2 Então e é uma imersão conforme com H ◦ F = f : M −→ H ≡ 1. Reciprocamente, se M

  2

  3 é simplesmente conexa e f : M é uma imersão com H

  −→ H ≡ 1, então existe uma imersão

2 F : M

  −→ SL(2, C) holomorfa, tal que f = e ◦ F . Ademais, F é única a menos de uma multiplicação por uma constante g ∈ SU(2).

  No último capítulo, estudaremos as superfícies de Bryant completas de curvatura total finita e apresentaremos alguns exemplos. Segue um importante resultado dete capítulo.

  2 ∗

  Proposição. Sejam dσ uma pseudo métrica e ∆ = {w ∈ C; 0 < |w| < 1} um disco furado.

  2 ∗

  Suponhamos que (∆, dσ ) possua curvatura 1. Suponhamos também que a área de ∆ na métrica

  2 dσ é finita. Então, existe uma coordenada holomorfa local z sobre ∆ =

  ǫ {w ∈ C; |w| < ǫ} , para algum ǫ > 0, com z(0) = 0, e β > ǫ , nós temos

  −1 um numero real tal que sobre ∆ 2 β

  4(β + 1) (zz)

  2 dσ = dz

  β+1

  2 (1 + (zz) )

  ∆ | ǫ ⊗ dz.

  Ademais, β é única, e z é única a menos de uma dilatação λz, onde |z| = 1.

  Da teoria de superfícies mínimas completas e de curvatura total finita sabemos que a aplicação normal de Gauss e a diferencial de Hopf são meromorfas, ver Porém, este resultado é falso na teoria de superfícies de Bryant completas e de curvatura total finita. Mais precisamente, temos o seguinte resultado:

  3 ∗ Teorema.

  Seja f : ∆ uma imersão conforme de curvatura média 1, completa em −→ H

  2 ∗ z = 0 e de curvatura total finita. Então, a aplicação hiperbólica de Gauss [e + e ] : ∆

  3 −→ S

  ∞ estende-se holomorficamente em z = 0 se, e só se, a ordem de Q em z = 0 é pelo menos -2. Capítulo 1 Preliminares

  Neste capítulo introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de geometria Riemanniana com o intuito de fixar a notação, admitindo que o leitor seja familiarizado com os pré-requisitos necessários. Para este capítulo as referências são

1.1 Superfícies de Riemann

  Nesta sessão faremos um breve estudo sobre a teoria de Superfícies de Riemann. O objetivo principal é obter a característica de Euler-Poincaré de uma superfície de Riemann via formas diferenciais. Nossas principais referencias são

  Primeiramente vejamos dois exemplos de superfícies de Riemann importantes. Sejam z =

  2 (z 1 , z 2 ), w = (w 1 , w 2 ) , considere a seguinte relação de equivalência.

  ∈ C z ∼ w ⇔ z = λw,

  ∗ . Denotemos as classes de equivalência desta relação por [z , z ]. Definamos

  1

  2 para algum λ ∈ C

  1

  1

  1 CP é dito espaço projetivo complexo. Consideremos P

  = 1 , z 2 ]; z 1 , z

  2 = C

  {[z ∈ C} . CP ∪ {∞},

1 P é dita esfera de Riemann.

  1

  1

  1

  1 Podemos identificar CP e P , basta tomar a aplicação π : CP tal que −→ P z

  2 π[z , z ] = .

  1

  2 z

  1 Esta aplicação está bem definida. De fato, suponha que w = (w , w ) é múltiplo de z = (z , z ),

  1

  2

  1

  2 w z

  2

  2

  ∗ tal que w = λz. Daí, = e, portanto, π está bem definida. logo existe λ ∈ C w z

  1

1 Definição 1.1.1.

  Um divisor sobre uma superfície de Riemann M é uma combinação linear de um número finito de pontos de M com coeficientes inteiros.

  P Definição 1.1.2. Se D = n p é um divisor, então o grau de M é a soma p

  X deg(D) = n . p p Definição 1.1.3.

  Se f é uma função meromorfa sobre uma superfície de Riemann M, e p é uma ponto de M, definimos a ordem de f, ν (f ), por p

   k se f tem um zero de multiplicidade k em p 

  ν (f ) = p

  −k se f tem um pólo de multiplicidade k em p  se f é holomorfa e não nula em p

  Toda função meromorfa possui uma quantidade finita de zeros ou pólos e, portanto,

  X D = ν (f )p p p

  P é claramente um divisor. O divisor D = ν (f )p é chamado divisor principal. p p

  Definição 1.1.4.

  Seja ω uma 1-forma meromorfa sobre uma superfície de Riemann M , e p ∈ M. Definamos a ordem de ω em p por

  ν p (ω) = ν p (f p ), onde f é a representação de ω no ponto p, i.e, ω está representado localmente como f p p dz numa vizinhança de p.

  Esta definição não depende da vizinhança coordenada ver O divisor

  X (ω) := ν (ω)p p p

  é dito divisor canônico da forma meromorfa ω. Segue um importante resultado, sua demonstração pode ser encontrada em Teorema 1.1.1. Se ω é uma 1-forma diferencial sobre uma superfície de Riemann compacta M, então deg((ω)) =

  −χ, onde χ é a característica de Euler-Poincaré da superfície de Riemann.

  2

  2 Seja ζ : S induz uma

  −→ C ∪ {∞} a projeção estereográfica(estendida). A métrica em S métrica padrão sobre C ∪ {∞} dada por 4dζ

  ⊗ dζ µ = .

  2 (1 + ζζ) Ademais, a métrica tem curvatura 1 sobre C ∪ {∞}, ver

  2 Lema 1.1.1.

  Seja M uma superfície de Riemann simplesmente conexa e dσ uma pseudo métrica

  2 sobre M tal que (M, dσ ) possui curvatura Gaussiana 1. Então existe uma função meromorfa

  2 ∗

  ξ : M (µ) = dσ , isto é −→ C ∪ {∞} tal que ξ

  4dξ ⊗ dξ

  2 dσ = .

  2 (1 + ξξ)

  ′ ′ ′

  2 aξ−b ∗

  Ademais, se ξ : M ) (µ) = dσ , então ξ = , onde a, b são

  −→ C ∪ {∞} também satisfaz (ξ bξ+a

  2

  2 constantes complexas satisfazendo = 1.

  |a| |b|

  • Segue um importante resultado da teoria de superfícies de Riemann simplesmente conexas, sua demonstração pode ser encontrada em Teorema 1.1.2. Se M é uma superfície de Riemann simplesmente conexa então, M é conformemente equivalente a um e somente um dos casos seguintes:

  (i) C ∪ {∞} ;

  (ii) C; (iii) ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} .

1.2 O Método do Referencial Móvel Nesta sessão introduziremos o método do referencial móvel para variedades Riemannianas.

  Este possibilitará fazermos um estudo da curvatura seccional de variedades utilizando formas diferenciais.

  Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n. Sejam p ∈ M e U ⊂ M uma vizinhança de p em M, onde seja possível definir campos diferenciáveis de vetores e tais que 1 , ..., e n , e . i j ij he i = δ n n i formas i

  O conjunto {e } é chamado referencial ortonormal móvel em U. Sejam {ω } i=1 i=1 diferenciais em U tais que i ω (e j ) = δ ij . i

  As formas ω i são chamadas coreferencial assosciado a {e } . Temos o seguinte resultado. n Lema 1.2.1.

  Escolhido um referencial num aberto U de uma variedade Riemanniana M, {e i } i=1 j j i existe em U um (único) conjunto de formas diferencias ω , onde ω = e satisfazem i i −ω j n

  X i k i dω = ω .

  ∧ ω k k=1 A demonstração do lema anterior pode ser encontrada em As formas ω j i são chamadas formas de conexão de M no referencial {e i

  } n i=1

  k

  X Y, Z i + hY, ∇

  X Z i = X(hY, Zi);

  (v) Se p ∈ M, (∇

  X Y )(p) só depende do valor de X no ponto p e dos valores de Y ao longo de uma curva parametrizada α : (

  −ǫ, ǫ) −→ M, com α(0) = p, e α ′ (0) = X(p).

  A demonstração do resultado acima pode ser encontrada em Note que h∇

  X e i

  , e j i = ω j i

  (X), donde ω j i

  (e k ) = h∇ e

  e i , e j i . Definamos as formas Ω ij por Ω ij

  ∇

  = dω j i

  − P n k=1

  ω k i ∧ ω j k

  . Estas são ditas formas de curvatura de M no referencial {e i } .

  Para cada p ∈ M, e cada par de vetores X, Y ∈ T p

  M, a matriz (Ω ij

  ) p

  (X, Y ) pode ser vista como a matriz da aplicação linear (R

  XY ) p

  : T p

  M −→ T p

  X Y + X(f )Y ; (iv) h∇

  ∇ X (f Y ) = f

  . As formas de conexão permitem definir uma noção de derivação covariante para campos em M. Proposição 1.2.1. Sejam X, Y campos diferenciáveis em M e

  Então ∇

  {e i } um referencial em U ⊂ M.

  Suponha que Y = P n i=1 y i e i e faça

  ∇

  X Y = n

  X j=1

  ( dy j

  (X) + n

  X i=1

  ω j i

  (X)y i

  ) e j .

  X Y independe do referencial {e i } e, portanto, está bem definido em M.

  X Z; (iii)

  A demonstração do resultado acima segue de ∇

  X Y é dito derivada covariante de Y em relação a X. A derivada covariante possui importantes propriedades dadas pela proposição seguinte.

  Proposição 1.2.2. Sejam X, Y, Z campos diferenciáveis em M, f e g funções difereciáveis em M e a e b números reais então

  (i) ∇ f X+gZ

  Y = f ∇

  X Y + g ∇

  Z X;

  (ii) ∇

  X (aY + bZ) = a

  ∇

  X Y + b ∇

  M em relação à base {e 1 , ..., e n } .

  é chamado operador curvatura de M. Como Ω e Ω é uma forma bilinear R

  =

  XY ij −Ω ij ij alternada, temos as seguintes equações para o operador curvatura: Se X, Y, Z e T são campos diferenciáveis em M então

  Z, T Z, T (1.1)

  XY Y X hR i = − hR i

  Z, T T, Z (1.2)

  XY

  XY hR i = − hR i .

  Derivando exteriormente a equação n

  X i j i dω = ω

  ∧ ω j j=1 temos n n

  X X k j k j

  0 = dω ω ∧ ω − ∧ dω k k k=1 k=1 n n

  X X j j i k i

  = ω ω ∧ ω i ∧ ω k − ∧ dω i ik=1 i=1 n n

  X X j j i k

  = ω ω ) ∧ ( i ∧ ω k − dω i i=1 k=1 n

  X i = ω .

  ∧ Ω ij i=1

  Portanto, n

  X i

  ω = 0. (1.3) ij

  ∧ Ω i=1

  A equação é chamada primeira identidade de Bianchi. Em termos de operador curvatura, ela se traduz da seguinte forma. Se X, Y e Z são campos diferenciáveis em M, n

  X i

  0 = ω ij (X, Y, Z) ∧ Ω i=1 n

  X i i i

  = ω (X)Ω (Y, Z) (Y )Ω (X, Z) + ω (Z)Ω (X, Y ) ij ij ij

  − ω i=1

  =

  X Y + R Z, e Y Z

  XZ

  XY j hR − R i . para j = 1, ..., n. Daí,

  R Z + R X + R Y = 0 (1.4)

  XY Y Z ZX Note que valem as seguintes igualdades hR

  XY Z, T i + hR

2 X

  M. Tomemos um referencial {e

  O número (Ω

  Proposição 1.2.3.

  2 } geram P. Temos o seguinte resultado.

  1 , e

  } em uma vizinhança de p de tal modo que {e

  1 , ..., e n

  M um subespaço de dimensão dois do espaço tangente T p

  (e

  As formas de curvatura nos permitem definir a curvatura seccional de uma variedade. A partir de agora faremos uma introdução de tal conceito. Seja P ⊂ T p

  ), e l .

  (e k

  j

  e

  

i

  12 ) p

  2 ) depende apenas do subespaço P.

  1 , e

  1 e

  Temos o seguinte resultado.

  2 i é chamado a curvatura seccional de M em p segundo P.

  1 ), e

  (e

  ) p

  2

  = h(R e

  , e l

  2 )

  1 , e

  (e

  12 ) p

  (P ) = −(Ω

  K p

  A demonstração da proposição acima segue de pág. 54. O número

  ) = R ijkl = R e

  (e k

  Y Z X, T i + hR

  XY T, Z i + hR

  ZT X, Y i .

  XY Z, T i = hR

  Z, X i = 0. Daí, por temos hR

  Y, T i + hR T Y

  Somando as equações acima e utilizando temos hR ZX

  Y T X, Z i = 0

  T X Y, Z i + hR

  Ω ij

  XZ T, Y i = 0 hR

  T X Z, Y i + hR

  ZT X, Y i + hR

  T Y Z, X i = 0 hR

  ZT Y, X i + hR

  Y Z T, X i + hR

  ZX Y, T i = 0 hR

  Como as formas Ω ij são formas de grau dois, elas podem ser escritas

  = −

  ∧ ω t

  ), e j i = Ω ji

  ω s

  s,t R jist

  1

  −

  ) =

  , e l

  (e k

  (e i

  1

  l

  e

  k

  As funções R ijkl são chamadas as componentes do tensor curvatura de M. Notemos que hR e

  ∧ ω l .

  ω k

  kl R ijkl

2 X

  Proposição 1.2.4.

  Seja P M um subespaço de T M. Se X, Y ⊂ T p p ∈ P são vetores linearmente independentes de T M e

  , e p i

  1

  2 {e } é um referencial ortonormal tal que {e } gera P, então

  X, Y

  XY hR i

  K(p) = ,

  2 (A(X, Y )) onde A(X, Y ) é a área do paralelogramo formado por X e Y.

  A demonstração do resultado acima pode ser encontrada em pág. 55. Definição 1.2.1. Diz-se que uma variedade Riemanniana M, é isotrópica em p se todas as curvaturas seccionais em p têm o mesmo valor, isto é, se K (P ) não depende de P M. p p

  ⊂ T Finalmente, temos o resultado que traduz a importância das formas de curvatura de um referencial.

  Proposição 1.2.5. Seja M uma variedade Riemanniana, p i

  ∈ M e {e } um referencial em uma vizinhança de p. Então M é isotrópica em p se e só se i j Ω = ω . ij p

  −K ∧ ω A demonstração da proposição anterior pode ser encontrada em pág. 55. Naturalmente, temos a seguinte definição. Definição 1.2.2. Diz-se que uma variedade Riemanniana M tem curvatura constante, se K (P ) p não depende de p e P.

  4 1.3 O Espaço de Lorentz-Minkowski-L .

  4 Nesta sessão exibiremos as equações de estrutura do espaço de Lorentz-Minkowski L .

4 Tomemos em R o semi produto interno definido por

  y + x y + x y + x y ,

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  4 hx, yi = −x

  4

  4 onde x = (x , x , x , x ), y = (y , y , y , y ) . O espaço (R ,

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4 ∈ L h.i) é dito espaço de Lorentz-

4 Minkowski e será representado por L .

  4 Sejam e , e , e , e campos diferenciáveis sobre L tais que

  1

  2

  3

  4 i , e j j δ ij , he i = ǫ onde i, j = 1, 2, 3, 4 e

  −1 se j=1 ǫ j = se j=2,3,4

  1 Existem 1-formas (ω i

  )

  4 X k=1 ǫ k dω k i e k

  4 X j=1 ǫ j

  ω j i e j

  ) =

  4 X j=1 ǫ j

  (dω j i e j

  − ω j i ∧ de j

  ) =

  4 X j=1 ǫ j

  [dω j i e j

  − ω j i ∧ (

  4 X k=1 ǫ k

  ω k j e k

  )] =

  −

  )) ≡ 0, i = 1, ..4, temos 0 = d(de i

  4 X j=1 ǫ j

  [

  4 X k=1 ǫ k

  ω j i ∧ ω k j e k

  ] =

  4 X k=1 [dω k i −

  4 X j=1 ǫ j

  ω j i ∧ ω k j

  ]ǫ k e k

  Portanto como {e i } é um conjunto linearmente independente, então dω j i

  =

  4 X k=1 ǫ k

  ω k i ∧ ω j k

  . (1.6) A equação é chamada equação de estrutura de L

  ) = d(

  , onde i, j = 1, ..., 4. Aplicando a diferencial na equação e usando o fato de que d(d(e i

  4 i=1 sobre L

  4 . Daí, podemos escrever de i =

  4 tais que

  ω i

  (e j

  ) = ǫ j

  δ ij .

  O conjunto das formas diferenciais (ω i

  )

  4 i=1 é chamado coreferencial assosciado ao referencial

  (e i

  )

  4 i=1 . Para cada i, o campo e i induz uma aplicação diferenciável de i

  : L

  4 −→ L

  4 X k=1 ǫ k ω k i e k .

  = −ω i j

  (1.5) As 1-formas

  ω j i

  , são ditas formas de conexão de L

  4 no referencial {e i }

  4 i=1 .

  Note que da igualdade he i

  , e j i = ǫ j

  δ ij temos, aplicando a diferencial, hde i , e j i + he i , de j i = 0.

  Ademais, temos ω j i

  = hde i

  , e j i = − hde j

  , e i i = −ω i j

  . Daí,

  ω j i

  4 .

  1.4 Modelos de Espaço Hiperbólico Nesta sessão apresentaremos alguns modelos de espaço hiperbólico de dimensão 3.

  1.4.1 Modelo do Semi-Espaço Superior

  Seja

  3

  3 R = (x , x , x ) ; x > 0 .

  1

  2

  3

  3 ∈ R +

  3 Munindo R com a métrica

  • 2

  2

  2 dx + dx + dx

  1

  2

  3

  2 ds = ,

  2 x

  3

  3

  3

  2 definiremos H = (R , ds ). Este modelo é chamado modelo do semi-espaço superior.

  • As retas perpendiculares ao hiperplano x = 0, os círculos cujos planos são perpendiculares a

  3

  3 neste modelo, ver pág. x 3 = 0 e cujos centros estão nesse hiperplano são as geodésicas de H 162.

  1.4.2 Modelo de Poincaré

  3

  3 Seja B uma bola aberta de raio 2 e centro na origem, ⊂ R

  3

  3 B = p ; ,

  ∈ R |p| < 2

  3 e introduza sobre B a métrica

  δ ij h (p) = . ij

  1

  2

  2 (1 )

  − |p|

  4

  3 B com esta métrica é um modelo de espaço hiperbólico chamado modelo de poincaré.

  1.4.3 Modelo de Minkowski

  Consideremos o conjunto

  3

  4 H = ; > 0 {v ∈ L hv, vi = −1, x }.

  3 Tomemos sobre H a forma quadrática

  2

  2

  2

  2

  • dx + dx + dx −dx

  1

  2

  3

  4 induzida de L . Temos um importante resultado.

  3 Lema 1.4.1. O Modelo de Minkowski de H é uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa e com curvatura seccional −1. O lema acima pode ser encontrado em mostra que a forma

  4

  3 quadrática de L quando restrita ao H torna-se uma métrica bem definida.

  3 As geodésicas neste modelo são interseções de H com hiperplanos que passam pela origem de

4 L , ver [17] pág. 70.

  Considere o conjunto

  3

  4 N = ; (v) > 0 {v ∈ L hv, vi = 0, x }.

  3 Este conjunto é dito cone de luz. O espaço N é claramente uma variedade. Consideremos sobre

  3

  4

  3 ∗

  N a métrica induzida de L . Para cada ponto v definamos [v] = αv, α . Definamos ∈ N ∈ R + o conjunto

  2

  3 S = [v]; v .

  ∈ N ∞

  2

  3

  2 S é dito bordo assintótico de H . A partir de S podemos compactificar o espaço hiperbólico,

  ∞ ∞ assim escreveremos

  3

  2

3 H = H .

  ∪ S ∞ Este será o modelo de espaço hiperbólico que adotaremos no decorrer do trabalho.

1.4.4 Modelo Hermitiano

  Consideremos as seguintes matrizes 1 0 0 1 i

  1 σ = , σ 1 = , σ 2 = , σ 3 = .

  0 1 1 0 −i 0 −1

  Estas matrizes são chamadas Matrizes de Pauli e serão muito úteis para descrevermos a

  4 representação matricial do espaço hiperbólico. Identificaremos L com o espaço das matrizes

  H, hermitianas 2 × 2, pela identificação

  3 X x + x x + ix

  3

  1

  2

  4 (1.7) x = (x + , x

  1 , x 2 , x 3 ) σ x k σ k = ∈ L ↔ X = x x x

  1 − ix 2 − x

  3 k=1

  4 Uma consequência desta identificação é que dado x = (x , x , x , x ) e seu associado

  1

  2

  3 ∈ L x + x x + ix

  3

  1

2 X =

  ∈ H temos que x x

  1

  2

  3 − ix − x det(X) = (x + x )(x ) + ix )(x )

  3

  3

  1

  2

  1

  2 − x − (x − ix

  2

  2

  2

  2 = (x ) 3 ) 1 ) 2 )

  − (x − (x − (x = − hx, xi .

  Daí, det(X) = − hx, xi .

  4

  4 Tomemos x = (x . Pela identificação de L com o espaço , x , x , x ), y = (y , y , y , y )

  1

  2

  3

  1

  2 3 ∈ L vetorial H escrevamos x + x x + ix y + y y + iy

  3

  1

  2

  3

  1

  2 X = , Y = ∈ H. x x y y

  1 − ix 2 − x

  3 1 − iy 2 − y

  3 Note que

  1 t tr(X σ Y σ ).

  2

  2 hx, yi = −

  2 De fato, veja que

  1 2 ) (x + x 3 ) t −(x − ix X σ = i

  (1.8)

  2 ) (x + ix )

  3

  1

  2 −(x − x

  • iy ) (y + y )

  1

  2

  3 −(y

  Y σ = i . (1.9)

  2 ) (y )

  3

  1

  2 −(y − y − iy t

  Escrevendo B = X onde B = (b σ

  2 Y σ 2 ij ) temos de que b = y + x y y + x y + x y y + i(x y y )]

  11

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  3

  3

  1

  2

  2

  1 −[x − x − x − x b = y + x y + x y + x y y + x y + i( y + x y )].

  22

  3

  3

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  1

  2

  2

  1 −[−x − x −x

  Portanto, t tr(X σ Y σ ) = b + b

  2

  2

  11

  22 = 2(x y 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 )

  − x = −2 hx, yi .

  Daí,

  1 t tr(X σ

  2 Y σ 2 ). hx, yi = −

  2 Portanto, em H, definiremos o pseudo produto interno dado por

  1 t tr(Xσ

  2 Y σ 2 ). hX, Y i = −

2 Considere A = {X ∈ H; hX, Xi = −1, tr(X) > 0} .

  3 . Tal representação

  Note que A claramente pode ser visto como a representação matricial de H

  3 é dita forma hermitiana de H . Consideremos o grupo de Lie, SL(2, C), formado pelas matrizes t

  ∗

  2 a matriz (F ) . Temos

  ×2 complexas com determinante 1. Dado F ∈ SL(2, C), denotemos por F o seguinte resultado.

  3 ∗

  Lema 1.4.2. H pode ser representado matricialmente por ; F {F F ∈ SL(2, C)} .

  Demonstração. Basta mostrar que ∗

  ; F A = {X ∈ H; det(X) = 1, tr(X) > 0} = {F F ∈ SL(2, C)} . Note que, dado F ∈ SL(2, C) temos que

  ∗ ∗ ∗ (F F ) = F F

  ∗ det(F F ) = 1

  ∗ ∗ Ademais, como det(F ) = 1 então tr(F F

  ) > 0. Portanto, F F ∈ A. Logo,

  ∗ ; F {X ∈ H; det(X) = 1, tr(X) > 0} ⊃ {F F ∈ SL(2, C)} . t

  = X então X possui um Por outro lado, seja X ∈ H tal que detX = 1 e tr(X) > 0. Como X

  2

  2 , v ) um autovetor associado a λ tal que = 1. autovalor λ ∈ R. Denotemos por v = (v

  • 1

  2

  1

  2 |v | |v |

2 O polinômio característico de X é p(t) = t

  − tr(X)t + 1. Note que,

  1

  2 p( ) = λ − λtr(X) + 1.

  λ

1 Portanto, como λ é uma autovalor então também é um autovalor de X. Tomemos o autovetor

  λ v

  1

  2 1 −v 2 , v 1 ) assosciado a . Seja E = . Assim, X pode ser escrito da forma ev = (−v

  λ v 2 v

  1 λ 0

  −1 X = E E

  1 λ

  √ λ

  Tomemos F = E . Assim, como detF = 1 então F

  1 ∈ SL(2, C). Por outro lado, √

  λ note que

  √ √ t

  λ λ ∗

  F F = E E

  1

  1 √ √

  λ λ t λ 0

  = E E

  1 λ t

  = XEE = X t

  Portanto, X = F F .

  Considere SU(2) o subconjunto de SL(2, C) dado por n o t

  −1 X = X .

  ∈ SL(2, C); X SU (2) será bastante utilizado no decorrer do trabalho. Definição 1.4.1.

  Sejam G um grupo e M uma variedade. Dizemos que uma aplicação φ : G

  × M −→ M é uma ação de G sobre M quando satisfaz as seguintes condições

  (i) : M g

  ∀ g ∈ G, φ −→ M dada por φ (p) = φ(g, p) g é um difeomorfismo.

  (ii) Dados g , g

  1

  2 ∈ G, φ g g = φ g g .

  1

  2 1 ◦ φ

  2

  4 Lema 1.4.3.

  O grupo de Lie complexo SL(2, C) age sobre L pela aplicação

  4

  4 φ : SL(2, C)

  × L −→ L t

  ∗ ∗ definida por φ(g, v) = gvg , onde v é uma matriz simétrica hermitiana e g = g .

  Demonstração. Note que vale (i) pois a multiplicação de matrizes é diferenciável. Por outro lado, ∗

  φ = g g v(g g ) g g

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∗ ∗ = g 1 (g 2 vg )g

  2

  1 ∗

  = φ (g vg ) g

  1

  2

  2 = φ . g g

  1 ◦ φ

  2 Daí,

  φ = φ g g g g

  1

  2 1 ◦ φ

  2

  4 e, portanto, vale (ii). Portanto, φ é uma ação de SL(2, C) sobre L .

  Obteremos agora a representação matricial do cone de luz

  3

4 N

  = ; (v) > 0 {v ∈ L hv, vi = 0, x }.

  3 Mostraremos que a representação matricial de N é dada pelo conjunto N das matrizes positivas

  3 semi-definidas de determinante zero não-nulas. De fato, dado x = (x , x , x , x ) temos uma

  1

  2

  3 ∈ N x + x x + ix

  3

  1

  2 matriz associada X = . Por outro lado, x x

  1

  2

  3 − ix − x

  (1.10) hx, xi = −det(X) De temos que det(X) = 0. Por outro lado, os autovalores de X são λ

  e, = 0 e λ = 2x

  1

  2 portanto, λ , λ

  > 0 então X

  1

  2 ≥ 0. Daí, X é uma matriz positiva semi-definida. Ademais, como x é não-nula. Portanto, X ∈ N .

  Seja agora X ∈ N . Particularmente, X é hermitiana e, portanto, podemos encontrar x + x 3 x 1 + ix

  2 x , x , x , x

  . É claro que det(X) = 0 e, portanto,

  1

  2

  3 ∈ R tais que X = x x

  1

  2

  3 − ix − x

  , x , x , x ), (x , x , x , x )

  1

  2

  3

  1

  2

  3 h(x i = 0.

  Como X ∈ N então seus autovalores são não negativos. Por outro lado, os autovalores de X são η = 0 e η = 2x

  e, portanto, x

  1

  2 ≥ 0. Notemos que

  2

  2 (x )(x + x ) = x + x .

  3

  3 − x

  1

  2

  3 Daí, é imediato que x = 0 > 0. Logo, (x , x 1 , x 2 , x 3 ) .

  ⇔ X = 0 e, portanto, x ∈ N x + x 3 x 1 + ix

  2

  3 Através da identificação obtida escreveremos N = N . Seja X = ∈ N . x x

  1

  2

  3 − ix − x

  Como X é positiva semi-definida então x

  • x

  3 ≥ 0. Mas,

  2

  2 (x )(x + x ) = x + x (1.11)

  3

  3 − x

  1

  2

  2

  e, portanto, x , a ) tal que

  3

  1

  2 − x ≥ 0. Assim, podemos encontrar um vetor não-nulo (a ∈ C a a = x + x ;

  1

  1

  3 a a = x .

  2

  2

  3 − x

  De temos que

  2

  2 (a a )(a a ) = x + x .

  1

  2

  2

  1

  1

  2 Assim, existe α ∈ R tal que iα x + ix = e a a .

  1

  2

  1

  2 iα/2 iα/2 Tomemos b e b

  1 = e a

  1 2 = e a 2 . Logo, x + x x + ix

  3

  1

  2 X = x x

  1 − ix 2 − x

  3 b b b b

  1

  1

  1

  2 = b b b b

  1

  2

  2

  2 b

  1 = b b

  1

  2 b

  2 Portanto, t b

  1

  2 bb , b = ; b , b .

  1

  2 N = ∈ C b

  2

  2 tais que

  , b ), k = (k , k ) Sejam v ∈ N e b = (b

  1

  2

  1 2 ∈ C b k

  1

  1 v = = . b 1 b 2 k 1 k

  2 b 2 k

  2 iθ

  1 iθ

  e, portanto,

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 ∈ R tais que k iθ isso mostra que θ = θ . Portanto, se θ = θ = θ então k = e

  2 Logo, existem θ , θ = e b e k = e b . Por outro lado, k k = b b

  b. Assim, dado v

  1

  2

  1

  2 ∈ N existe um b

  1 2 iθ vetor não-nulo (b , b ) , único a menos de multiplicação por e , tal que v = b b .

  1

  2

  1

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