Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Dilma Maria dos Santos Cunha

  UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEM ´ ATICA EM REDE NACIONAL

  MARIA DAYANE DALYSSE DOS SANTOS N ´ UMERO DE OURO NA EDUCAC ¸ ˜ AO B ´ ASICA: CONSTRUC ¸ ˜ OES

  GEOM´ ETRICAS NA SALA DE AULA MACEI ´ O

  2014 MARIA DAYANE DALYSSE DOS SANTOS N ´ UMERO DE OURO NA EDUCAC ¸ ˜ AO B ´ ASICA: CONSTRUC ¸ ˜ OES

  GEOM´ ETRICAS NA SALA DE AULA Disserta¸c˜ao de Mestrado Profissional, submetida em 10 de outubro de 2014 `a banca examinadora, desig- nada pelo Colegiado do Programa de Mestrado Pro- fissional em Matem´atica em Rede Nacional da Uni- versidade Federal de Alagoas em associa¸c˜ao com a Sociedade Brasileira de Matem´atica, como parte dos requisitos necess´arios a obten¸c˜ao do grau de mestre em Matem´atica. Orientadora: Profa. Me. Viviane de Oliveira Santos.

  MACEI ´ O 2014 Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

  

Bibliotecária Responsável: Dilma Maria dos Santos Cunha

S237n Santos, Maria Dayane Dalysse dos.

  

Número de ouro na educação básica : construções geométricas na sala de aula /

Maria Dayane Dalysse dos Santos. – Maceió, 2014. 77 f. ; il. Orientadora: Viviane de Oliveira Santos. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Programa de Pós Graduação de Mestrado Profissional em Matemática, 2014. Bibliografia: f. 67-68. Anexos : f.69-77.

  

1. Razão áurea – história. 2. Construções geométricas. 3. Sequência de Fibonacci.

  4. Resistências. 5. Educação básica. I. Título.

  CDU: 517.52

  ` A minha fam´ılia. AGRADECIMENTOS A DEUS, acima de tudo e em primeiro lugar, por estar sempre presente em minha vida.

  ` A minha m˜ae Ilza, e aos meus irm˜aos David, Jessyka e Jullyadson pelo incentivo durante todo o tempo.

  Ao meu noivo Luis Eduardo pela compreens˜ao e, especialmente, pela ajuda na elabora¸c˜ao desse trabalho no que se refere `as tecnologias da informa¸c˜ao.

  ` A minha orientadora Prof

  a

  . Viviane Oliveira pela aten¸c˜ao, carinho e paciˆencia, por ter dedicado seu tempo para que este trabalho se tornasse poss´ıvel, estando sempre dispon´ıvel nos momentos em que precisei.

  Ao meu amigo Evison Rosalino pela ajuda ao longo do curso e, em especial, na elabora¸c˜ao desse trabalho. Aos meus amigos do mestrado (PROFMAT) que colaboraram com o meu crescimento e aprendizado durante todo o curso e, principalmente, pelo incentivo na qualifica¸c˜ao em especial ao

  Aldo Agustinho, Andr´e Carlos, Andr´e Oliveira, Elielson Magalh˜aes, Elinelson Gomes, Josimar Santos, Leandro, Lindberg, Marcel Cavalcante, Marcelo e Vanessa Alves.

  ` A minha amiga Maria Patr´ıcia pela contribui¸c˜ao para a realiza¸c˜ao desse trabalho. Ao Isnaldo Isaac pelas orienta¸c˜oes para apresenta¸c˜ao desse trabalho.

  ` A Hosana Buarque e Camila Buarque pela ajuda nas corre¸c˜oes gramaticais. A todos os professores do programa do PROFMAT por terem contribu´ıdo para meu cresci- mento.

  A banca examinadora: Prof. Dr. Hil´ario Alencar da Silva e Prof. Dr. Givaldo Oliveira dos Santos que cederam uma parte de seu tempo precioso para poder contribuir com meu trabalho. Aos alunos que aceitaram participar do projeto e `a equipe da escola Esmeralda Figueiredo onde a proposta foi desenvolvida. A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pela bolsa con- cedida durante o mestrado.

  RESUMO Apresentamos, neste trabalho, um pouco da hist´oria de um n´ umero fascinante, conhecido entre outros nomes, por Raz˜ao ´ Aurea. Mostramos tamb´em algumas curiosidades e propriedades matem´aticas encontradas nesse n´ umero e sua rela¸c˜ao com a sequˆencia de Fibonacci. Al´em disso, apresentamos as defini¸c˜oes e algumas propriedades do retˆangulo e triˆangulo ´aureos e do pent´agono regular e pentagrama. Realizamos algumas constru¸c˜oes geom´etricas relacionando-as com a Raz˜ao ´ Aurea, retratamos como o conte´ udo de constru¸c˜oes geom´etricas foi perdendo espa¸co no Ensino Fundamental e M´edio ao longo do tempo, e o resgate deste conte´ udo no panorama atual da educa¸c˜ao. Finalizamos este trabalho aplicando atividades que relacionam a Raz˜ao ´ Aurea com as constru¸c˜oes geom´etricas e com a sequˆencia de Fibonacci, atividades estas aplicadas em uma escola p´ ublica do munic´ıpio de Rio Largo/AL, com turmas do Ensino Fundamental tendo como objetivo despertar o interesse dos alunos pela matem´atica e trabalhar com constru¸c˜oes geom´etricas.

  Palavras-chave: Raz˜ao ´ Aurea. Constru¸c˜oes Geom´etricas. Sequˆencia de Fibonacci. Hist´oria.

  ABSTRACT We present in this work a bit of history of a fascinating number, known, among other names, as the Golden Ratio. We also show some curiosities and mathematical properties found in this number and its relationship to the Fibonacci sequence. In addition, we present definitions and some properties of golden rectangles and triangles and of the regular pentagon and pentagram. We developed geometric constructions relating them to the Golden Ratio, and discussed how the content of geometric constructions has been losing space in the elementary and secondary curriculum over time. In order to rescue this content for the current landscape of education we suggest the use of activities that relate to the Golden Ratio, tying the geometric constructions to the Fibonacci sequence. The activities described were implemented in a public school in the city of Rio Largo / AL, with students at an elementary school. The goal was to arouse the interest of students in mathematics and in working with geometric constructions. Keywords: Golden Ratio. Geometric constructions. Fibonacci sequence. History.

  LISTA DE FIGURAS 1 Segmento ´ Aureo .....................................................................................................

  36 18 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 3...............................................................

  44 32 Margarida ..............................................................................................................

  44 31 Girassol...................................................................................................................

  43 30 Filotoxia.................................................................................................................

  42 29 Pent´agono com duas diagonais e os ˆangulos .........................................................

  41 28 Pent´agono com duas diagonais..............................................................................

  41 27 Pent´agono Regular ................................................................................................

  40 26 Autopropaga¸c˜ao.....................................................................................................

  40 25 Pent´agono e Pentagrama ......................................................................................

  39 24 Triˆangulo ABC, bissetriz interna e ˆangulos...........................................................

  38 23 Triˆangulo ABC e bissetriz interna ........................................................................

  38 22 Retˆangulo ´ Aureo....................................................................................................

  37 21 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 6 ..............................................................

  37 20 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 5...............................................................

  37 19 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 4 ..............................................................

  36 17 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 2...............................................................

  13 2 Pent´agono e Pentagrama.........................................................................................

  26 16 Constru¸c˜ao do retˆangulo ´aureo - passo 1 ..............................................................

  25 15 Constru¸c˜ao do segmento ´aureo - passo 4...............................................................

  25 14 Constru¸c˜ao do segmento ´aureo - passo 3 ..............................................................

  24 13 Constru¸c˜ao do segmento ´aureo - passo 2...............................................................

  23 12 Constru¸c˜ao do segmento ´aureo - passo 1 ..............................................................

  22 11 Segmento ´ Aureo.....................................................................................................

  22 10 Reta perpendicular `a reta s ..................................................................................

  22 9 Constru¸c˜ao de uma reta perpendicular...................................................................

  21 8 Reta s .....................................................................................................................

  21 7 Ponto M´edio...........................................................................................................

  18 6 Constru¸c˜ao do Ponto M´edio ..................................................................................

  17 5 Ladrilhos.................................................................................................................

  16 4 Modulor...................................................................................................................

  14 3 Homem Vitruviano ................................................................................................

  45

  33 Relato aluno A4......................................................................................................

  55 46 Atividade - Aluno B7 .............................................................................................

  64 56 Atividade - Aluno B13............................................................................................

  64 55 Atividade - Aluno A8.............................................................................................

  63 54 Atividade - Aluno B12............................................................................................

  62 53 Atividade - Aluno B4 e B7.....................................................................................

  62 52 Atividade - Aluno B9, B10 e B11 parte 2................................................................

  61 51 Atividade - Aluno B9, B10 e B11............................................................................

  60 50 Atividade - Aluno B8 .............................................................................................

  59 49 Atividade - Aluno A5..............................................................................................

  58 48 Atividade - Aluno B6..............................................................................................

  56 47 Atividade - Aluno B1..............................................................................................

  55 45 Atividade - Aluno A7..............................................................................................

  48 34 Relato aluno B3......................................................................................................

  54 44 Atividade - Aluno A6 parte 2..................................................................................

  53 43 Atividade - Aluno A6..............................................................................................

  53 42 Atividade - Aluno A5, A15 e A18...........................................................................

  53 41 Atividade - Aluno A9, A35 e A39...........................................................................

  51 40 Atividade - Aluno A8..............................................................................................

  51 39 V´ıdeo 3....................................................................................................................

  51 38 V´ıdeo 2....................................................................................................................

  50 37 V´ıdeo 1....................................................................................................................

  49 36 Relato aluno B5......................................................................................................

  49 35 Relato aluno B4......................................................................................................

  65

  LISTA DE TABELAS 1 Problema dos Coelhos.............................................................................................

  29 2 Raz˜ao entre N´ umeros de Fibonacci consecutivos.....................................................

  32

  SUM ´ ARIO Introdu¸c˜ao...................................................................................................................

  54 4.4 Atividades de Constru¸c˜ao Geom´etrica...................................................................

  36 3.3.5 O pentagrama e o pentagrama............................................................................

  40 3.3.5 A Raz˜ao ´ Aurea e a botˆanica...............................................................................

  43 4 Aplica¸c˜oes em sala de aula.......................................................................................

  46 4.1 Atividade: V´ıdeos....................................................................................................

  47 4.2 Atividade: Medidas do corpo humano...................................................................

  52 4.3 Atividade: Sequˆencia de Fibonacci........................................................................

  57 4.4.1 Atividade: Divis˜ao de um segmento na Raz˜ao ´ Aurea.........................................

  34 3.3.3 Duas outras formas matem´aticas de encontrar o N´ umero de Ouro....................

  57 4.4.2 Atividade: Retˆangulo ´ Aureo...............................................................................

  59 4.4.3 Atividade: Pent´agono regular e Pentagrama......................................................

  61 4.4.4 Opini˜ao dos alunos quanto `as atividades de constru¸c˜ao geom´etrica..................

  64 5 Conclus˜ao.................................................................................................................

  66 Referˆencias..................................................................................................................

  67 Anexos.........................................................................................................................

  35 3.3.4 O retˆangulo e o triˆangulo ´aureo..........................................................................

  2 .........................................................

  12 1 Parte Hist´orica do N´ umero de Ouro.........................................................................

  23 3.1 Segmento ´ Aureo.....................................................................................................

  13 2 Constru¸c˜oes Geom´etricas.........................................................................................

  19 2.1 Constru¸c˜oes Elementares com R´egua e Compasso.................................................

  20 2.1.1 Constru¸c˜ao do ponto m´edio de um segmento de reta.........................................

  21

  2.1.2 Constru¸c˜ao de uma reta perpendicular a uma reta dada que passe por um ponto pertencente `a reta dada.................................................................................................

  22 3 N´ umero de Ouro.......................................................................................................

  23 3.1.1 Constru¸c˜ao do Segmento ´ Aureo com r´egua e compasso......................................

  , Φ e Φ

  24 3.2 Sequˆencia de Fibonacci..........................................................................................

  27 3.3 Propriedades..........................................................................................................

  33 3.3.1 Potˆencias de Φ....................................................................................................

  33

  3.3.2 Uma interessante rela¸c˜ao entre

  1 Φ

  69

  INTRODUC ¸ ˜ AO

  o

  Este trabalho surgiu com a inten¸c˜ao de despertar nos alunos de 8 ano da escola municipal Esmeralda Figueiredo a curiosidade para fazer a associa¸c˜ao da matem´atica com a realidade fora da sala de aula, vendo assim a aplica¸c˜ao dos conte´ udos estudados. Para atingir esse objetivo, escolhemos trabalhar com um interessante n´ umero - o N´ umero de Ouro. Esse n´ umero possui propriedades bastante interessantes que iremos mostrar no decorrer do trabalho. Ap´os a revis˜ao bibliogr´afica, sentiu-se a necessidade de acrescentar um novo objetivo: utilizar o n´ umero de ouro para trabalhar alguns conceitos elementares de constru¸c˜oes geom´etricas, o que se justifica por ser um conte´ udo pouco trabalhado no ensino b´asico e por acreditarmos que, atrav´es das constru¸c˜oes, o aluno desenvolve melhor os conceitos de geometria plana.

  Os conceitos de constru¸c˜oes geom´etricas que foram trabalhados nas atividades desenvolvi- das com a turma envolveram constru¸c˜ao de retas perpendiculares, mediatriz, circunferˆencia, quadrado, retˆangulo, pent´agono e divis˜ao de segmento. Esse segundo objetivo ´e refor¸cado por textos oficiais, como o que encontramos nos Parˆametros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2008, p. 89) que sugere o trabalho com “Resolu¸c˜ao de situa¸c˜oes-problema que envolvam a obten¸c˜ao da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ˆangulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ˆangulos not´aveis, fazendo uso de instrumentos como r´egua, compasso, esquadro e transferidor”.

  Este trabalho encontra-se organizado da seguinte maneira: no primeiro cap´ıtulo, contamos um pouco da hist´oria desse n´ umero que possui v´arios nomes como “N´ umero ´ Aureo”, “N´ umero de Ouro”, entre outros; no segundo cap´ıtulo, apresentamos um pouco da trajet´oria das constru¸c˜oes geom´etricas no ensino b´asico e algumas constru¸c˜oes elementares; o terceiro cap´ıtulo foi dedicado ao estudo de algumas curiosidades e aplica¸c˜oes do N´ umero de Ouro; e no quarto cap´ıtulo, apresentamos algumas atividades aplicadas em sala de aula, bem como uma an´alise dessas atividades.

1 PARTE HIST ´ ORICA DO N ´ UMERO DE OURO Contaremos agora a hist´oria de um n´ umero fascinante que surgiu na Antiguidade, o Fi (Φ).

  Esse n´ umero ´e conhecido por diversos nomes: “N´ umero ´ Aureo”, “Raz˜ao ´ Aurea”, “Se¸c˜ao ´ Aurea” e “Propor¸c˜ao Divina” s˜ao alguns deles citados por Livio (2011, p. 13). J´a Biembengut (1996) chama-o de N´ umero de Ouro. Para contar esta hist´oria, tomaremos como base o livro de Mario Livio intitulado de A Hist´oria de Fi.

  A primeira defini¸c˜ao clara da Raz˜ao ´ Aurea foi dada por volta de 300 a.C. por Euclides de Alexandria. Euclides definiu uma propor¸c˜ao derivada da simples divis˜ao de uma linha no que ele chamou de sua “raz˜ao extrema e m´edia”. Nas palavras de Euclides: “Diz-se que uma linha reta ´e cortada na raz˜ao extrema e m´edia quando, assim como a linha toda est´a para o maior segmento, o maior segmento est´a para o menor”(LIVIO, 2011, p. 13-14).

  Segmento ´ Aureo

  Figura 1:

  

Fonte: Ramos, 2014

  At´e o in´ıcio do s´eculo XX, usava-se a letra grega tau (τ ), que em grego significa “o corte”, para representar o N´ umero de Ouro. Entretanto, o matem´atico americano Mark Barr, no in´ıcio do s´eculo XX, come¸cou a utilizar a letra Fi (Φ), em homenagem a F´ıdias (um escultor e arquiteto grego que viveu aproximadamente entre 490 e 460 a.C). Barr decidiu homenagear F´ıdeas porque alguns historiadores da arte sustentavam que ele utilizava a Raz˜ao ´ Aurea nas suas esculturas, fato que n˜ao pode ser confirmado atualmente. As maiores realiza¸c˜oes desse escultor foram o “Partenon de Atenas” e o “Zeus” no templo de Ol´ımpia (LIVIO, 2011, p. 16).

  Aparentemente, os pitag´oricos usavam o pentagrama como o s´ımbolo de sua irmandade e o chamavam de “Sa´ ude”. O pentagrama tem rela¸c˜ao estreita com o pent´agono regular. Conectando-se todos os v´ertices do pent´agono por diagonais, obt´em-se um pentagrama (Fi- gura 2). Al´em disso, o pentagrama e o pent´agono regular est˜ao repletos de rela¸c˜oes com Φ - algumas dessas rela¸c˜oes ser˜ao mostradas adiante. Por isso, muitos pesquisadores sugerem que

  

  os pitag´oricos foram os primeiros a descobrir a Raz˜ao ´ Aurea e a incomensurabilidade talvez 1 Algo que n˜ ao se pode medir

   245-325 d. C.), fundador

  da escola s´ıria de Neoplatonismo, os pitag´oricos ergueram uma l´apide para Hipaso, como se ele estivesse morto, por causa da descoberta devastadora da incomensurabilidade.

  Pent´ agono e Pentagrama

  Figura 2:

Fonte: Autora, 2014.

  Embora seja poss´ıvel que a incomensurabilidade e os n´ umeros irracionais tenham sido des- cobertos atrav´es da Raz˜ao ´ Aurea, a vers˜ao mais tradicional ´e que essa descoberta tenha surgido da raz˜ao entre a diagonal e o lado do quadrado (LIVIO, 2011, p. 50).

  Plat˜ao (428/427 a.C.-348/347 a.C.) e Theaetetus (c. 417 a.C.-c. 369 a.C) se dedicaram ao estudo dos poliedros. Plat˜ao tentou explicar a estrutura da mat´eria usando os cinco s´olidos regulares (ou poliedros), que j´a tinham sido investigados at´e certo ponto pelos pitag´oricos e inteiramente por Theaetetus. Esses s´olidos est˜ao ligados `a Raz˜ao ´ Aurea, como, por exemplo, no fato de os 12 v´ertices de um icosaedro regular e os 12 centros das faces de um dodecaedro regular poderem ser divididos em trˆes grupos de quatro pontos, sendo que os quatro pontos de cada grupo formam um retˆangulo ´aureo. Veremos no cap´ıtulo 3 a defini¸c˜ao de retˆangulo ´aureo.

  Pappus de Alexandria foi o ´ ultimo grego que se dedicou ao estudo da Raz˜ao ´ Aurea. Ap´os Pappus, passou-se um per´ıodo sem grandes avan¸cos no estudo desse fascinante n´ umero. Mas, na Idade M´edia, Leonardo de Pisa tamb´em chamado de Leonardo Fibonacci - trouxe contribui¸c˜oes importantes para o estudo do N´ umero de Ouro.

  O papel de Fibonacci na hist´oria da Raz˜ao ´ Aurea ´e realmente fascinante. Por um lado, nos problemas em que usava conscientemente a Raz˜ao ´ Aurea, foi respons´ avel por um progresso significativo mas n˜ ao espetacular. Por outro, simplesmente formulando um problema que, em princ´ıpio, nada tinha a ver com a Raz˜ao ´ Aurea, ele expandiu drasticamente o escopo da Raz˜ ao ´ Aurea e de suas aplica¸c˜ oes. (LIVIO, 2011, p. 115). 2 O problema a que se faz referˆencia acima ´e o seguinte: cerca de

  Um homem pˆ os um par de filhotes de coelhos num lugar cercado de muro por todos os lados.

Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente,

todo mˆ es cada par d´ a a luz a um novo par, que ´ e f´ ertil a partir do segundo mˆ es?

  Este problema encontra-se no primeiro livro de Fibonacci, chamado de Liber abaci (Livro do ´abaco), publicado em 1202.A solu¸c˜ao ser´a mostrada com mais detalhes no cap´ıtulo 3. Alguns pintores famosos da hist´oria tamb´em foram matem´aticos talentosos. Dentre eles podemos citar Piero della Francesca (c. 1412-1492). Trˆes livros que Piero escreveu sobre Ma- tem´atica foram preservados: De Prospectiva pingendi (Sobre a perspectiva na pintura), Libellus

  

de Quinque Corporibus Regularibus (Livro curto sobre os cinco s´olidos regulares) e Trattato

d’Abaco

  (Tratado sobre o ´abaco). O primeiro livro se tornou o manual padr˜ao para artistas, e nos dois ´ ultimos Piero apresenta alguns problemas e solu¸c˜oes que envolvem a Raz˜ao ´ Aurea. Outro pintor renascentista que contribuiu para o desenvolvimento do estudo da Raz˜ao ´ Aurea foi Luca Paciolli (1445-1517) que escreveu o famoso livro chamado Divina Proportione (A pro- por¸c˜ao divina) que foi publicado em 1509 composto por trˆes volumes.

  O primeiro volume apresenta as propriedades da Raz˜ao ´ Aurea e um estudo dos s´olidos platˆonicos e outros poliedros. Encontra-se, tamb´em, neste primeiro volume, sessenta ilustra¸c˜oes de s´olidos feitas por Leonardo da Vinci.

  O segundo livro ´e um tratado sobre propor¸c˜ao e suas aplica¸c˜oes na arquitetura e na estrutura do corpo humano, e teve como base o trabalho do arquiteto Marcus Vitruvius Pollio (70-25 a.C.). Segundo Vitruvius apud Livio,

  [...] no corpo humano, o ponto central naturalmente ´e o umbigo. Porque se um homem for colocado deitado de costas, com as m˜aos e os p´es estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas m˜aos e de seus p´es ir˜ ao tocar a circunferˆencia do c´ırculo descrito a partir desse ponto. E assim como o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada tamb´em pode ser encontrada a partir dele. Pois se medirmos a distˆancia das solas dos p´es at´e o topo da cabe¸ca e depois aplicarmos essa medida aos bra¸cos esticados, veremos que a largura ser´ a a mesma que a altura, como no caso de superf´ıcies planas que s˜ao perfeitamente quadradas (LIVIO, 2011, p. 157).

  A cita¸c˜ao acima levou ao conceito do “homem vitruviano”, desenhado por Leonardo da Vinci (Figura 3). O terceiro volume ´e uma tradu¸c˜ao para o italiano do Cinco s´olidos regulares, de Piero. A publica¸c˜ao de A Propor¸c˜ao Divina foi respons´avel pela divulga¸c˜ao da Raz˜ao ´ Aurea, que antes era conhecida apenas pelos matem´aticos, mas ap´os o livro de Pacioli tornou-se dispon´ıvel para artistas.

  Homem Vitruviano

  Figura 3:

Fonte: http://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/homem-vitruviano.html.

  

Acesso em 13/07/2014.

  Johannes Kepler (1571-1630), conhecido pelas trˆes leis do movimento planet´ario que levam seu nome, tamb´em foi um matem´atico talentoso e teve participa¸c˜ao na hist´oria do N´ umero de Ouro ou “Propor¸c˜ao Divina”, como ele chamava. Seu modelo cosmol´ogico era baseado nos s´olidos platˆonicos conforme consta em seu livro Mysterium Cosmographicum (O mist´erio c´osmico) publicado em 1597. No mesmo ano, ele escreveu para Mastlin, seu antigo professor, sobre o seguinte teorema: “Se numa linha dividida nas raz˜oes m´edia e extrema se constr´oi um triˆangulo retˆangulo, de modo que o ˆangulo reto esteja sobre a perpendicular colocada no ponto da sec¸c˜ao, ent˜ao o lado menor ter´a o mesmo valor do maior segmento da linha dividida”.

  Kepler tamb´em descobriu que a raz˜ao entre dois n´ umeros de Fibonacci consecutivos converge para a Raz˜ao ´ Aurea, e que o quadrado de qualquer termo da sequˆencia de Fibonacci difere no m´aximo por 1 do produto dos dois termos adjacentes na sequˆencia. Em seu livro Harmonice

  

Mundi (A harmonia do mundo), Kepler apresenta um trabalho sobre tiling (ladrilharia), ou

mosaico, que tamb´em tem rela¸c˜ao com a Raz˜ao ´ Aurea.

  Sup˜oe-se que muitos pintores renascentistas e pr´e-renascentistas tenham utilizado a Raz˜ao ´

  Aurea em seus trabalhos, por supor propriedades est´eticas no Retˆangulo ´ Aureo. Entre esses pintores, destacamos Leonardo da Vinci. Por´em, n˜ao existem estudos que possam confirmar a utiliza¸c˜ao desse n´ umero nos trabalhos realizados pelos artistas daquela ´epoca. Segundo Livio (2011, p. 193), o primeiro artista a utilizar a Raz˜ao ´ Aurea provavelmente foi Paul S´erusier (1864-1927). Ap´os S´erusier, muitos artistas utilizaram comprovadamente a Raz˜ao ´ Aurea em seus trabalhos, como o escultor Jaques Lipchitz (1891-1973), e os pintores Juan Gris (1887- 1927), Gino Severino (1883-1966), Salvador Dal´ı, entre outros.

  O famoso arquiteto e pintor Le Corbusier (Charles-´ Edouard Jeanneret, 1887-1965) foi um dos maiores defensores da aplica¸c˜ao da Raz˜ao ´ Aurea. Ele criou um novo sistema proporcional chamado “Modulor” que, segundo ele, daria propor¸c˜oes harmoniosas a tudo, de tamanhos de gabinetes e ma¸canetas a edif´ıcios e espa¸cos urbanos. O Modulor era baseado nas propor¸c˜oes humanas (Figura 4). Diferente de Le Corbusier, n˜ao se pode afirmar a utiliza¸c˜ao da Raz˜ao

  ´ Aurea nas obras de Piet Mondrian (1872-1944).

  Modulor

  Figura 4:

  

Fonte: http://coisasdaarquitetura.wordpress.com/2010/06/30/quem-acredita-no-modulor/

Acesso em 13/07/2014.

  O N´ umero de Ouro tamb´em est´a presente em instrumentos musicais, conforme encontramos em Livio (2011, p. 209) “O violino ´e um instrumento no qual a Raz˜ao ´ Aurea de fato aparece com frequˆencia”. Contudo, o fato de que Mozart (1756-1791), Bart´ok ( 1881-1945) e Debussy (1862-1918) tenham usado a Propor¸c˜ao Divina em suas composi¸c˜oes n˜ao ´e confirmado.

  Falando agora da ladrilhagem peri´odica, que ´e a opera¸c˜ao de cobrir o plano inteiro e conse- guir um padr˜ao que se repete a intervalos regulares, encontramos novamente uma rela¸c˜ao com o N´ umero de Ouro, pois ´e poss´ıvel termos ladrilhagens peri´odicas com quadrados, triˆangulos equil´ateros e hex´agonos, mas n˜ao ´e poss´ıvel com pent´agonos regulares, que tem simetria qu´ıntupla: por mais que vocˆe tente, sobrar˜ao espa¸cos vazios. Por´em, “[...] em 1974, Roger Penrose desco- briu dois conjuntos b´asicos de ladrilhos que podem ser encaixados, para preencher o plano todo e exibir a simetria rotativa qu´ıntupla” (LIVIO, 2011, p. 230). As ladrilhagens de Penrose tˆem a Raz˜ao ´ Aurea escrita em todas elas. Segue um par desses ladrilhos conhecidos como “dardo” e “pipa”.

  Figura 5:

  Ladrilhos

Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci7.htm.

  

Acesso em 13/07/2014.

  Atualmente s˜ao realizados estudos que envolvem a Raz˜ao ´ Aurea, como ´e o caso da rela¸c˜ao da Raz˜ao ´ Aurea com a geometria fractal. Mais detalhes sobre esta geometria podem ser encontrados no cap´ıtulo 8 de Livio (2011).

2 CONSTRUC ¸ ˜ OES GEOM´ ETRICAS

  As constru¸c˜oes geom´etricas apresentam-se como uma excelente ferramenta para se traba- lhar os conceitos e propriedades da geometria euclidiana. Elas ajudam na aprendizagem dos alunos, pois permitem que eles consigam representar e visualizar alguns conceitos matem´aticos. Sobretudo, as constru¸c˜oes s˜ao fundamentais para que os alunos do ensino fundamental compre- endam as propriedades da geometria plana de forma efetiva. Eduardo Wagner defende o uso de constru¸c˜oes geom´etricas no ensino da geometria quando diz que

  Naturalmente que no ensino de Geometria, a constru¸c˜ ao das figuras com r´egua e compasso ´e fundamental para a perfeita compreens˜ ao das suas propriedades. Para o aluno que se inicia no estudo dessa mat´eria, um esbo¸co das figuras tra¸cadas a m˜ao livre n˜ ao ´e suficiente. Ele precisa ver as suas figuras tra¸cadas com precis˜ ao para compreendˆe-las perfeitamente. Quando o professor desenha um ovo e diz que aquilo ´e uma circunferˆencia, ele est´a fazendo uma abstra¸c˜ ao que para si ´e muito natural (porque conhece suas propriedades), mas para os alunos iniciantes n˜ ao ´e. Os alunos precisam ver e construir uma circunferˆencia perfeita para entendˆe-la. Esse coment´ario vale para tudo; ´e preciso construir para entender de forma segura e permanente. Em resumo, o ensino da geome- tria n˜ ao pode estar dissociado das constru¸c˜ oes. Com absoluta certeza, separar a Geometria de Desenho conduz a um aprendizado inseguro e n˜ ao permanente

(Wagner apud RAYMUNDO, 2010, p. 21).

  Al´em disso, a aplica¸c˜ao dos conceitos da constru¸c˜ao geom´etrica em outras ´areas de conhe- cimento como a constru¸c˜ao civil, as artes pl´asticas, a arquitetura, etc, faz com que os alunos percebam a aplica¸c˜ao dos conte´ udos estudados, e favorece o desenvolvimento de habilidades motoras, pelo manuseio de instrumentos de desenho. O que ´e confirmado pelo pensamento de Silva, ao afirmar que

  O desenho geom´etrico ´e ministrado com o prop´ osito de desenvolver habilidades motoras manuais nos alunos, pois as constru¸c˜ oes gr´ aficas s˜ao executadas com instrumentos como compasso, r´egua, transferidor e esquadro, cujo manuseio requer coordena¸c˜ ao motora para a obten¸c˜ ao das figuras geom´etricas pretendidas (2006, p. 49).

  Durante algum tempo, as constru¸c˜oes com r´egua e compasso foram ficando menos frequen- tes na educa¸c˜ao b´asica do Brasil. At´e 1960, o Desenho Geom´etrico tinha lugar de destaque no

  o

  ensino. Com a promulga¸c˜ao da Lei de Diretrizes e Bases da Educa¸c˜ao Nacional (LDB) n 4024 de 20 de dezembro de 1961, a disciplina de Desenho passa a ser complementar e a partir desse

  34) afirma que a LDB/61 juntamente `a Lei 5540 de 28 de novembro de 1968, que estabelece a Re- forma Universit´aria (LRU), foram respons´aveis pela retirada da disciplina Desenho Geom´etrico das escolas, pois o exame vestibular eliminou esta disciplina por n˜ao constar na LDB, e as institui¸c˜oes de ensino n˜ao mantiveram a disciplina por n˜ao ser cobrada no vestibular.

  Atualmente, com a implanta¸c˜ao dos Parˆametros Curriculares Nacionais de Matem´atica

  o o

  (PCNs), para o 3 e 4 ciclos do Ensino Fundamental, a partir de 1998, pode-se notar um incentivo para incluir novamente o ensino das constru¸c˜oes geom´etricas na disciplina de Ma- tem´atica. Nos PCNs (1998, p.51), encontramos orienta¸c˜ao para “que o professor de Matem´atica explore situa¸c˜oes em que sejam necess´arias algumas constru¸c˜oes geom´etricas com r´egua e com- passo, como visualiza¸c˜ao e aplica¸c˜ao de propriedades das figuras, al´em da constru¸c˜ao de outras rela¸c˜oes”.

  Os PCNs apresentam alguns conte´ udos propostos para o ensino de Matem´atica no quarto ciclo, entre eles destacaremos a seguir alguns relacionados ao nosso objetivo:

  • Identifica¸c˜ao de um n´umero irracional como um n´umero de representa¸c˜ao decimal infinita, e n˜ao-peri´odica, e localiza¸c˜ao de alguns deles na reta num´erica, com r´egua e compasso;
  • Divis˜ao de segmentos em partes proporcionais e constru¸c˜ao de retas paralelas e retas perpendiculares com r´egua e compasso;
  • Resolu¸c˜ao de situa¸c˜oes-problema que envolvam a obten¸c˜ao da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ˆangulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ˆangulos not´aveis, fazendo uso de instrumentos como r´egua, compasso, esquadro e transferidor;
  • Identifica¸c˜ao e constru¸c˜ao das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triˆangulo utilizando r´egua e compasso (BRASIL, 1998, p. 87-89).

  Observam-se v´arios conte´ udos que podem ser trabalhados com o aux´ılio das constru¸c˜oes geom´etricas, buscando uma aprendizagem mais significativa para o aluno. Para o desenvolvi- mento desse trabalho, escolhemos realizar duas constru¸c˜oes elementares, que s˜ao: a constru¸c˜ao de retas perpendiculares e a constru¸c˜ao do ponto m´edio de um segmento. Em seguida, fazendo uso dessas constru¸c˜oes elementares, relacionarmos alguns t´opicos do N´ umero ´ Aureo, como o retˆangulo ´aureo, a divis˜ao do segmento em propor¸c˜ao ´aurea, entre outras atividades apresenta- das no cap´ıtulo 4.

2.1 Constru¸ c˜ oes Elementares com R´ egua e Compasso

  A seguir, apresentamos duas constru¸c˜oes elementares: constru¸c˜ao do ponto m´edio de um desse trabalho, tanto em algumas constru¸c˜oes feitas para mostrar as propriedades do N´ umero ´

  Aureo, que ser˜ao apresentadas no pr´oximo cap´ıtulo, quanto nas atividades desenvolvidas em sala com os alunos e que se encontra no ´ ultimo cap´ıtulo.

  2.1.1 Constru¸ c˜ ao do ponto m´ edio de um segmento de reta Considere um segmento de reta AB. Com a ponta seca do compasso em A e depois em B, tra¸camos dois arcos com a mesma abertura do compasso, que deve ser maior que a metade de

  AB.

  Chamamos de P e de Q os pontos em que os dois arcos se intersectam (Figura 6).

  Constru¸ c˜ ao do Ponto M´ edio

  Figura 6:

Fonte: Autora, 2014.

  ←→

  Tra¸camos a reta P Q, que intersecta o segmento AB em M , que ´e o ponto m´edio do segmento AB (Figura 7).

  Ponto M´ edio

  Figura 7:

Fonte: Autora, 2014.

  Observe que, nessa constru¸c˜ao, a figura AP BQ ´e um losango, visto que AP = P B = BQ = QA (abertura do compasso ´e a mesma). Logo, suas diagonais s˜ao perpendiculares e cortam-se

  A mediatriz de um segmento AB ´e a reta perpendicular a AB que cont´em o seu ponto m´edio. A constru¸c˜ao da mediatriz ´e a mesma constru¸c˜ao do ponto m´edio feita acima.

  2.1.2 Constru¸ c˜ ao de uma reta perpendicular a uma reta dada que passe por um ponto pertencente ` a reta dada.

  Considere uma reta s e um ponto P pertencente `a reta s (Figura 8).

  Reta s

  Figura 8:

Fonte: Autora, 2014.

  Com abertura qualquer e ponta seca em P , marcamos o ponto A em s, `a esquerda de P . Com a mesma abertura do compasso e ponta seca em P , marcamos o ponto B em s, `a direita de P (Figura 9).

  Constru¸ c˜ ao de uma reta perpendicular

  Figura 9:

Fonte: Autora, 2014.

  Com abertura maior que AP e ponta seca em A, depois em B, tra¸camos dois arcos com a mesma abertura do compasso, chamamos de C e D os pontos em que os dois arcos se intersectam (Figura 10).

  ←→ A reta CD ´e a reta perpendicular `a reta s que passa por P .

  Reta perpendicular ` a reta s

  Figura 10:

Fonte: Autora, 2014.

3 N ´ UMERO DE OURO

  Neste cap´ıtulo, apresentaremos como encontrar uma representa¸c˜ao alg´ebrica para o N´ umero de Ouro partindo da representa¸c˜ao geom´etrica. Falaremos de Fibonacci, um matem´atico que contribuiu bastante para o estudo da Raz˜ao ´ Aurea. Al´em disso, apresentaremos algumas pro- priedades e curiosidades desse n´ umero, e algumas constru¸c˜oes geom´etricas.

3.1 Segmento ´ Aureo

  Considere um segmento de reta AB. Este segmento est´a dividido na raz˜ao m´edia e extrema quando encontramos um ponto C pertencente a AB, tal que AB AC

  (1) = , com AC > CB. AC CB

  Em outras palavras, o ponto C divide o segmento de modo que, assim como o segmento todo est´a para a maior parte, a maior parte est´a para a menor parte.

  Segmento ´ Aureo

  Figura 11:

Fonte: Ramos, 2014.

  Podemos encontrar um valor num´erico para a raz˜ao em . Tomando AC = x, x > 0 e CB = y, temos AB = x + y, logo x + y x = . x y

  Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por xy, obtemos

  2

  2

  2

  2 xy + y = x = 0.

  ⇒ x − xy − y Resolvendo a equa¸c˜ao quadr´atica acima na vari´avel x, encontramos √ √ y(1 + 5) 5) y(1 −

  ′ ′′

  x = e x =

  2

  2 y √ 5)

  (1− ′′

  Como x, y > 0, desconsideraremos o valor x = , por ser um n´ umero negativo.

  2 Portanto, a solu¸c˜ao positiva nos d´a o valor da Raz˜ao ´ Aurea , ou seja, y √ √ (1+ 5)

  AC x 1 +

  5

  2

  = = = = 1, 6180339887..., y y

  2 CB que ser´a representada por Φ.

  3.1.1 Constru¸ c˜ ao do Segmento ´ Aureo com r´ egua e compasso Podemos dividir um segmento em Raz˜ao ´ Aurea utilizando r´egua e compasso. Para isso, considere um segmento AB, e seguindo os passos abaixo, localizaremos o “ponto ´aureo”, ou seja, o ponto que dividir´a AB na Raz˜ao ´ Aurea.

  1. Marque o ponto m´edio M do segmento AB. Conforme constru¸c˜ao da se¸c˜ao 2.1.1 do cap´ıtulo 2 (Figura 12).

  Constru¸ c˜ ao do segmento ´ aureo - passo 1

  Figura 12:

Fonte: Autora, 2014.

Mostre mais