Tema 8 Transformada de Laplace

  Tema 8 Transformada de Laplace

8.1 Introducci´ on. Transformadas Integrales

  Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva t´ecnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de Heaviside (electrot´ecnico ingl´es de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante los ´ ultimos a˜ nos, y tiene ciertas ventajas sobre el m´etodo cl´asico.

  Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´o originalmente en la resoluci´on de E.D.O. con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. M´as tarde, ´el mismo extendi´o su m´etodo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducci´on de calor. Fue tal el poder de su m´etodo, que resolvi´o muchos problemas hasta entonces irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´as adaptable al C´alculo Num´erico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van der Pool, fundamentaron el c´alculo de Heaviside sobre una base m´as s´olida.

  En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´on de Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General- mente, el empleo de una transformada integral reducir´a una E.D.P. en n variables independientes a una con n − 1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro- blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el problema a la resoluci´on de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resoluci´on de una ecuaci´on algebraica, pero s´olo algunas veces merece la pena hacerlo.

  A´ un cuando la transformada de Laplace es de empleo m´as com´ un y es particular (conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´on de calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica. En la resoluci´on de este tipo de problemas se han empleado con ´exito diferentes transformaciones integrales y no existe raz´on alguna para que el m´etodo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´ ucleos.

  TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace, sino su utilizaci´on pr´actica en la resoluci´on de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.

8.1.1 Transformadas Integrales

  Definici´ on 8.1 Gran n´ umero de importantes funciones del An´alisis Matem´atico pueden

  expresarse como integrales de la forma Z ∞

  g (y) = K (x, y) · f (x) · dx −∞

  Una funci´on g definida por una ecuaci´on de este tipo (en la que la variable y puede ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f . La funci´on K se denomina N´ ucleo de la Transformada.

  Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia- mente en las matem´aticas puras y aplicadas y son especialmente ´ utiles en la resoluci´on de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de las transformadas m´as convenientemente usadas son: R ∞ − ixy e f

  • Transformada exponencial de Fourier: −∞ (x)dx R ∞
  • Transformada coseno de Fourier: cos(xy)f (x)dx R
  • Transformada seno de Fourier: sen(xy)f (x)dx R ∞ xy e f
  • Transformada de Laplace: (x)dx R ∞ y−

  1

  • Transformada de Mellin: x f (x)dx ixy

  Como e = cos(xy) − i sen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´on f se anula en el eje real negativo.

  Asimismo, la transformada de Laplace est´a relacionada con la transformada de Fourier: si consideramos un valor complejo de y, y = u + iv, u, v ∈ IR podemos escribir Z ∞ Z ∞ Z ∞ − − − − xy ixv xu ixv e f (x)dx = e · e f (x)dx = e φ u (x)dx xu donde φ u (x) = e f (x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como un caso particular de la transformada exponencial de Fourier. R ∞

  K Nota Una ecuaci´on del tipo g(y) = −∞ (x, y) · f (x) · dx puede escribirse en la forma g = T (f ) ´o g = T f donde T representa el ”operador” que convierte f en g .

  Ya que la integraci´on est´a involucrada en esa ecuaci´on, el operador T se designa con el nombre de Operador Integral.

  Es evidente que T es lineal, es decir T (af + bf ) = aT (f ) + bT (f ), a, b ∈ IR

  1

  2

  1

  2 De esta forma, el operador definido por la transformada de Fourier se representa por F y el definido por la transformada de Laplace por L.

  8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

8.2 Transformada de Laplace

  Definici´ on 8.2 Sea f (t) una funci´on definida en [0, +∞) . Se define la transformada

  de Laplace de f (t) a la funci´on F (s) o L{f (t)} definida por la integral

Z ∞

st

  F e f (s) = (t)dt para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que est´e definida la integral.

  N´otese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por Z ∞ Z − − st st A e f e f (t)dt = lim (t)dt A→∞ siempre que el l´ımite exista.

  Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta conveniente definir ciertos t´erminos. Definici´ on 8.3 Se dice que una funci´on f(t) es continua por segmentos o seccional- mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b],

  

excepto en un n´ umero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.

  Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0, ∞) si lo es en cada intervalo de la forma [0,N] con N > 0.

  Definici´ on 8.4 Se dice que una funci´on f(t) es de orden exponencial α si existen cons- αt tantes positivas T y M tales que | f (t) |≤ M e ∀t ≥ T .

  

8.2.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transfor-

mada de Laplace

  La forma m´as conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es por medio del siguiente teorema de comparaci´on, que es an´alogo a un teorema similar para series infinitas. Teorema 8.1 (Criterio de comparaci´ on para integrales impropias)

  Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f (t) |≤ g(t) cuando t > M , para R ∞ R ∞

  g f

alguna constante M > 0 y si (t)dt converge, entonces (t)dt tambi´en converge.

M a R ∞ R ∞

Por otra parte, si f (t) ≥ g(t) ≥ 0 para t ≥ M y si g (t)dt diverge, entonces f (t)dt

M a tambi´en diverge.

  De acuerdo con este teorema, la funci´on f deber´a satisfacer ciertas condiciones para que su transformada de Laplace F exista.

  TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden exponencial α, entonces L{f }(s) existe ∀s > α. Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no est´a acotada cuando t → 0. Adem´as: f(t) es n

  

continua por segmentos en cualquier intervalo N ≤ t ≤ N con N > 0, lim t→ t f (t) = 0

  1

  1 para cualquier n con 0 < n < 1 y f(t) es una funci´on de orden exponencial α.

  Entonces, existe L{f (t)} ∀s > α.

  Nota: Estas condiciones son suficientes, no necesarias.

8.3 Propiedades de la transformada de Laplace

  Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta secci´on que f es seccionalmente continua y de orden exponencial.

  I. Linealidad , c

  Teorema 8.4 Si c ∈ IR y f (t), f (t) son funciones cuyas transformadas respectivas

  1

  2

  1

  2 son F (s), F (s), entonces

  1

  2

  f f F F L(c (t) + c (t)) = c L(f ) + c L(f ) = c (s) + c (s)

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 II. Traslaci´ on at Teorema 8.5 Si L{f (t)} = F (s), entonces L{e f (t)} = F (s − a). ( f (t − a) t > a

  Teorema 8.6 Si L{f (t)} = F (s) y g(t) = entonces L{g(t)} = as t < a e F

  (s).

  III. Cambio de Escala s

  1 F Teorema 8.7 Si L{f (t)} = F (s) =⇒ L{f (at)} = ( ) a a

  IV. Transformada de la derivada Teorema 8.8 Supongamos que f y f ’ son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden

  exponencial. Entonces existe L{f (t)} y

  L{f (t)} = sL{f (t)} − f (0)

  8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE + f Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x = 0, pero en lim (t) = t→

  • f (0 ) entonces
  • + L{f (t)} = sF (s) − f (0 )

      Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en

      t=a, entonces ′ − − + as

      L{f (t)} = sF (s) − f (0) − e [f (a ) − f (a )] Teorema 8.11 Si f, f ’ y f ” son seccionalmente continuas en [0, ∞) y de orden exponen- ′′

      cial, entonces existe L{f (t)} y

    ′′ ′

      2 ′ n− L{f (t)} = s L{f (t)} − sf (0) − f (0)

    1 (n)

      Corolario 8.12 Si f, f , . . . , f son continuas y f es seccionalmente continua en

      (n)

      [0, ∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f (t)} y se verifica n n− n−

      (n)

      1 2 (n−2) (n−1)

      f f L{f (t)} = s L{f (t)} − s (0) − s (0) − . . . − sf (0) − f (0)

      V. Transformada de Laplace de una integral R t F (s) f Teorema 8.13 Si L{f (t)} = F (s) =⇒ L{ (u)du} = s

      VI. Derivada de la transformada Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0, ∞) y de orden

      exponencial α. Entonces ∀s > α

      F (s) = L{−tf (t)}(s)

      Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial α

      . Entonces ∀s > α n n n d F f

      (−1) = L{t (t)}(s) n ds

    8.4 Transformada inversa de Laplace

      Ahora nos planteamos el problema de encontrar una funci´on f(t) dado que conocemos su transformada de Laplace F (s).

      TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Definici´ on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´ unica f(t)

      que es continua en [0, ∞) y satisface

      L{f (t)}(s) = F (s) (∗)

      La funci´on se denota L

      1 {F }(t).

      Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en [0, ∞), se elige a L

      1

      {F } como una funci´on continua por segmentos que satisfaga(*). Aclaremos la definici´on. Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace Ejemplo: f

      (t) = ( 0 si t 6= kπ 1 si t = kπ

      L{f } = 0 g (t) = ( 0 si t 6= k π

      2

      1 si t = k π

    2 L{g} = 0 g 6= f

      Luego L

      1

      {0} , para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una ´ unica funci´on soluci´on. Dicha soluci´on ser´ıa h(t) = 0 ∀t, la ´ unica funci´on continua que verifica que L{h} = 0.

    8.5 Propiedades de la transformada inversa de Laplace

      , c

      1

      (b) Si L

      1

      {F (s)} = f (t) =⇒ L

      1

      {e − as F

      (s)} = ( f (t − a) t > a t

      ≤ a

      III. Cambio de escala Teorema 8.17 Si L

      1

      {F (s)} = f (t) =⇒ L{F (ks)} =

      1 k

      f ( t k )

      IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada Teorema 8.18 Si L

      {F (s)} = f (t) =⇒ L

      1

      1

      {F

      

    (n)

      (s)} = L

      1

      { d n ds n F (s)} = (−1) n t n f (t)

      V. Transformada inversa de Laplace de una integral Teorema 8.19 Si L

      1

      {F (s)} = f (t) =⇒ L

      1

      { R s F

      (u)du} = − f (t) t

      I. Linealidad Teorema 8.16 Sean c

      {F (s − a)} = e at f (t)

      {F (s)} = f (t) =⇒ L

      2 constantes arbitrarias y f

      {c

      1

      (t), f

      2

      (t) tales que L{f

      1

      (t)} = F

      1

      (s), L{f

      2

      (t)} = F

      2

      (s) entonces L

      1

      1 F

      1

      1

      (s) + c

      2 F

      2

      (s)} = c

      1

      1

      1

      (t) + c

      2

      f

      2

      (t)

      II. Teoremas de Traslaci´ on (a) Si L

      f

      8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

      

    8.5.1 Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones

    racionales algebraicas

      En la pr´actica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma p

      (s) F (s) = con grado(q(s)) >grado(p(s)). q

      (s) p (s)

    1 Para calcular L {F (s)}, descomponemos en fracciones simples. Los tipos de

      q (s) fracciones que pueden presentarse en la descomposici´on son: A

    • (a) Raices reales simples: s

      − a A

      , m

    • (b) Raices reales m´ ultiples: ∈ N, m > 1 m

      (s − a) M s

    • N • (c) Raices complejas simples:

      

    2

      2

      (s − a) + b M s

    • N m
      • (d) Raices complejas m´ ultiples: m ∈ N, m > 1

      2

      2

      ((s − a) + b ) Calculemos la transformada de cada una de ellas. A

      (a) s − a

      A − at

      1

      1

    1 L { } = AL { } = Ae

      s − a s − a A

      (b) n (s − a) n n !

      Sabemos que L{t } = , n ∈ N . Por la propiedad de traslaci´on n

    • 1

      s n at at n at m− ! (m − 1)!

      1

      f t t L{e (t)} = F (s − a) =⇒ L{e } = =⇒ L{e } = m =⇒ n +1

      (s − a) (s − a) A A

      1 at m−

    1 L { } = e t

      m (s − a) (m − 1)!

      M s

    • N (c)

      2

      2

      (s − a) + b M s M s N M aM

    • N

      (s − a) + N

    • = =

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

    • b
    • b
    • b
    • N (s − a)
    • N b

      (s

      (d) M s

      2

      2

      ) m S´olo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son: d.

      1) s (s

      2

      2

      )

      2 d.

      2) s

      2

      2

      2

      2

      )

      2 d.

      3)

      1 (s

      2

      2

      )

      2 Estos tres casos lo dejaremos para m´as adelante cuando veamos en qu´e consiste la Convoluci´ on.

      Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuaci´on diferencial.

      Para resolver un problema de valor inicial: • Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´on.

      (0) = y

      } = M e at cos bt + aM + N b e at sen bt

      2

      L

      { M s

      y L{e at cos bt} = s − a

      (s − a)

      2

      2 An´alogamente L{e at sen bt} = b

      (s − a)

      

    2

      2 Luego:

      { b (s − a)

      1

      2

      2

      2

      } = M L

      1

      { s − a

      TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Recordemos que L{cos bt} = s s

      2

      2

      } + aM

      L

      1

      2

    • b

      (s − a)

    • b
    • b
    • N ((s − a)
    • b
    • a
    • a
    • a

    8.6 Resoluci´ on de problemas de valor inicial

    8.6.1 M´ etodo de la transformada de Laplace

    • Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales para obtener una ecuaci´on de la transformada de Laplace de la soluci´on, y despejar la transformada en esta ecuaci´on.
    • Calcular la transformada inversa de Laplace de la soluci´on. Ejemplo: Resolver el problema de valor inicial ay ′′
      • by
      • cy = f y (0) = y y

    2 Y

    • ay as
    • F (s) as
    • bs + c
    • bs + c
    • bs + c y aplicar ahora la transformada inversa.

      1

      = L{f (t)} = L{f

      1

      (t)} ... L{f n (t)}

      Tomando transformadas L{ ˙x} = L{Ax + f } =⇒ sX(s) − X(0) = AX(s) − F (s) =⇒ (sI − A)X(s) = X(0) −

      F (s) =⇒ X(s) = (sI − A)

      En la pr´actica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con t´ermino no homog´eneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat- ural en circuitos el´ectricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente funci´on escal´on: Definici´ on 8.6 La funci´on escal´on unitario u(t)(´o funci´on de Heaviside) se define me-

      (X(0) − F (s))

      1

      diante

      u (t) = ( 0 si t < 0

      1 si t > 0

      Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posici´on diferente

      u (t − a) = ( 0 si t < a 1 si t > a

      (s) ... F n (s)

      F

      8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES Sean Y (s) y F (s) las transformadas de laplace de y(t) y f (t) respectivamente.

      2

      L{ay ′′ + by + cy} = L{f } = F (s) a L{y ′′ } + bL{y } + cL{y} = F (s) as

      (s) − asy − ay + bsY (s) − by + cY (s) = F (s) Despejando Y (s):

      Y (s) =

      (as + b)y as

      2

      

    2

      El m´etodo se puede aplicar tambi´en a sistemas. Ejemplo: Resolver el problema de valor inicial

      F (s) =

      ˙x = Ax + f (t) x (0) = ¯ x Sea X(s) = x

      1

      (s) ... x n (s)

      = L{x(t)} = L{x

      1

      (t)} ... L{x n (t)}

    8.7 Transformada de Laplace y funciones especiales

      TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on unitario

      Teorema 8.20 as e a >

      L{u(t − a)} = s Propiedad de desplazamiento Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de

      f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces as

      L{f (t − a)u(t − a)}(s) = e F (s) − −

      1 as

      F

      y si f (t) es continua en [0, ∞), entonces L {e (s)}(t) = f (t − a)u(t − a)

      En la pr´actica, aparece m´as el tener que calcular transformadas de funciones del tipo g (t)u(t − a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresi´on as L{g(t)u(t − a)} = e L{g(t + a)}(s)

      Funci´ on Gamma La funci´on gamma Γ(t) se define mediante Z ∞ u t−

      1

      Γ(t) = e u du t > que converge ∀t > 0. La funci´on gamma goza de la propiedad Γ(t + 1) = tΓ(t) (basta integrar por partes en la expresi´on anterior) Es pues, una generalizaci´on del factorial de un n´ umero. Si n ∈ IN, Γ(n) = (n − 1)! n La funci´on gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial t , pues n − st n − u n R R ∞ ∞

      1

      e t dt n +1 e u du L{t } = = (st = u) = n− R ∞ s

      1 u n−

      1 n e u du

      1 L{t } = s R − u n−

      1 La integral e u du es una integral euleriana de segunda especie. R ∞ f (x) dx

      Integrales del tipo x R ∞ f

      (t)

      Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo dt R ∞ st t e f Supuesto que exista la transformada de Laplace de f (x), L{f (t)} = (t)dt =

      F (s)

      8.8. LA FUNCI ´ ON DELTA DE DIRAC Integrando en el intervalo [0, ∞) se tiene R ∞

      ( R ∞ e st f (t)dt)ds = R ∞ F (s)ds =⇒ R ∞ ( R ∞ e st ds )f (t)dt) = R ∞ F (s)ds Como R ∞ e st ds

      =

      1 t

      se tiene que R ∞ f (t) t dt = R ∞

      F (s)ds que tiene sentido siempre que existan ambas integrales impropias.

    8.8 La funci´ on Delta de Dirac

      En muchas aplicaciones f´ısicas y biol´ogicas aparece a menudo el problema de valor inicial ay ′′

    • by
    • cy = f (t) y

      , t

      (0) = y y (0) = y donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fen´omenos de naturaleza impulsiva). La ´ unica informaci´on que poseemos de f es que es nula excepto en un intervalo muy peque˜ no de tiempo [t

      ] y que su integral sobre dicho intervalo es no nula. Si el intervalo I es peque˜ no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande. Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso. Definici´ on 8.7 La funci´on Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades

      siguientes: 1) δ(t) = (

      0 si t 6= 0 1 si t = 0

      2) R ∞ −∞

      f (t)δ(t)dt = f (0) para cualquier f(t)continua en alg´ un abierto que contenga al cero.

      An´alogamente a la funci´on de Heaviside se puede hacer una traslaci´on 1) δ(t − a) = ( 0 si t 6= a

      1 si t = a 2) R ∞ −∞ f (t)δ(t − a)dt = f (a) Nuestro objetivo es resolver ay ′′ + by + cy = f (t) por el m´etodo de la transformada de Laplace.

      Para ello hay que conocer L{δ(t − t )}: L{δ(t − t )} = R ∞ e st δ (t − t )dt = e st t ≥ 0

      1 TEMA 8. TRANSFORMADA DE LAPLACE

    8.9 La integral de convoluci´ on

      Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon- trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma s

      1

      1 ; ; G (s) , etc.

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      s

    • a (s + a ) (s + a )

      Ejemplo:

      1 − −

      1

      1

      1 Y (s) = G (s) con L { } = sen t , L {G(s)} = g(t)

      2

      2

      s + 1 s + 1 Nos preguntamos, ¿qu´e relaci´on existe entre L{Y (s)}, sen t y g(t)? Esta relaci´on nos la a resolver la siguiente

      Definici´ on 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0, ∞). El producto de con-

      voluci´on de f(t) y g(t) denotado por f ∗ g se define mediante Z

    t

      (f ∗ g)(t) = f (t − τ )g(τ )dτ

    8.9.1 Propiedades de la convoluci´ on

      Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0, ∞). Entonces f ∗ g=g ∗ f f

      ∗ (g + h)=f ∗ g + f ∗ h (f ∗ g) ∗ h=f ∗ (g ∗ h) f

      ∗ 0=0 Nota: El operador convoluci´on difiere del operador producto en que f ∗ 1 6= f y

      2

      f ∗ f 6= f . De hecho, la convoluci´on de una funci´on con ella misma puede no ser positiva. Teorema 8.23 (Teorema de convoluci´ on)

      Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0, ∞) y de orden expo-

    nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente.

    Entonces

      L{f ∗ g} = F (s)G(s)

      o, de forma equivalente,

    1 L {F (s)G(s)}(t) = (f ∗ g)(t)

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