Repositório UFAL: O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov

  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado

  O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov Fábio Henrique de Carvalho

  Maceió, Brasil 16 de Março de 2010 Fábio Henrique de Carvalho O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov

  Dissertação de Mestrado submetida em 16 de março de 2010 à Banca Examina- dora, designada pelo Colegiado do Pro- grama de Pos-Graduação em Matemá- tica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemá- tica.

  Orientador: Prof. Dr. Adán J. Corcho Fernández Maceió Março 2010

  

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

  

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

C331g Carvalho, Fábio Henrique de.

  

O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov / Fábio Henrique de Carvalho,

2010. 68 f. : il. Orientador: Adán José Corcho Fernández. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2010. Bibliografia: f. 66-67. Índices: f. 68.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Schrödinger, Equação de. 3. Equações de evolução. 4. Zhidkov, Espaços de. I. Título.

  

CDU: 517.958

.

  "O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.

  O que há é pouca gente para dar por isso (...)" (Álvaro de Campos)

  À minha mãe Maria.

  À meus irmãos.

  À Fabrisa. Agradecimentos

  Para que concluísse esse estágio de minha vida acadêmica, muitas pessoas merecem ser mencionadas. Para começar, é lógico, minha mãe Maria Anunciada de Carvalho, que conseguiu transformar um recém nascido, desenganado pelos médicos, em um homem; mas também a seu obstetra, Lício Henrique, a quem devo meu segundo nome mas, por sorte minha e por um momento de lucidez dela, não devo o primeiro.

  Já durante minha vida escolar anterior ao ingresso no Mestrado, ainda no es- tado do Espírito Santo, gostaria de ressaltar o papel fundamental de três pessoas. A primeira, professor Sandro Daré Lorenzoni na escola estadual "Hunney Everest Piovesan"(ou, como é mais conhecida, "Polivalente de Campo Grande"), locali- zada em Cariacica - ES, que, após suas minuciosas aulas de matemática, tornou um adolescente pouco estudioso, que apenas tinha boas notas, num voraz leitor dos livros de Matemática - a culpa de ter primeiramente me inclinado a prestar vestibular e depois decidir pela Matemática, ao invés de Psicologia, Física ou Filosofia, é exclusivamente dele! A segunda, professora Luzia Maria Casatti, du- rante o seu curso de Álgebra, viu num aluno de graduação que estudava em um turno e lecionava nos demais, alguém que podia dar um pouco mais de si, e o fez se entusiasmar pela profissão tanto quanto ela. A terceira e última (mas não menos importante), professor Florêncio Ferreira Guimarães Filho, transformou o entusiasta num leitor curioso e crítico de demonstrações; o que teve como causa um feliz desempenho durante seu agradável e enriquecedor curso de Análise Real. Também a Florêncio, devo a informação sobre o Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas.

  Aos colegas professores de matemática da Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF, por terem propiciado a oportunidade de meu afasta- mento para cursar este mestrado, vão meus sinceros agradecimentos. Certamente, eles tiveram que trabalhar também por mim durante estes dois anos. Também agradeço aos professores e professoras, Adriana Moreno, José Aliçandro(com o cedilha mesmo), Carmem Sueze, Leonardo Cavalcanti, Maria Zucci e Vanessa Donzeli, do Colegiado de Engenharia Agrícola e Ambiental da UNIVASF, que passaram um dia inteiro aguardando para que a reunião que decidiu meu afas- tamento tivesse coro. A reunião que deveria começar pela manhã só pôde se concretizar a noite, após o fim das inúmeras atividades que o professor Mário Mi- randa tinha à frente da Pró Reitoria de Pesquisa, a ele também fica minha eterna gratidão. Por outro lado, fico feliz por não ter que prestar agradecimentos aos sete prefessores que faltaram à reunião (embora o Estatuto da instituição, em seu artigo 80, esclareça, pelo menos aos que sabem ler, a obrigatoriedade de presença nas sessões das instâncias deliberativas da universidade); assim fico à vontade para prestar meus agradecimentos apenas àqueles pelos quais tenho estima e admiro o caráter e hombridade, e compareceram para votar, a favor ou até mesmo contra (se fosse o caso) a solicitação.

  Aos integrantes do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL, sejam eles docentes, discentes ou pessoal de apoio e limpeza, agradeço pelo fato de ter sido muito bem recebido; a Ufal e Maceió se tornaram mais um lar para mim, e já sinto as saudades da partida. Todos os amigos que fiz durante esses dois anos, tenho certeza que serão amigos para o resto de minha vida.

  Alguns merecem menção especial: Darliton e Everson - “irmãos” por parte de orientador, que abriram caminho para a elaboração deste trabalho, sendo que o primeiro fez algumas sugestões prontamente acatadas; Kennerson, Isnaldo, Ro- bério e Rodrigo, sempre dispostos a ajudar; Rafael, Alex Néo e Michel, pelos auxílios técnicos com as figuras e comandos até então desconhecidos por mim.

  Aos professores do Programa de Pós Graduação em Matemática da UFAL, Adelailson, Dimas, Feliciano, Júlio (meu conterrâneo) e Krerley, pela cordiali- dade e pelas palavras que ajudaram a me acalmar nos últimos momentos pré- defesa. Adelailson, por exemplo, me tirou de um grande desespero ao me empres- tar um projetor durante o “rufar dos tambores”.

  Agradeço também ao professor Clément Gallo, do Departamento de matemá- tica e Estatística da Universidade McMaster, no Canadá, tanto por ter elaborado o artigo em que se basea este trabalho, quanto por atender prontamente e responder por e-mail uma dúvida que lhe remeti. A ele queria dizer que, assim como foi seu desejo, finalmente recuperei meu sono, mas perdê-lo lendo seu artigo foi muito enriquecedor para a minha vida acadêmica. Sempre que o motivo for parecido, ficarei contente em manter-me insone.

  Aos membros da banca Prof. Dr. Amauri Barros, da UFAL, e Prof. Dr. Mahendra Prasad Panthee, da Universidade do Minho - Portugal, agradeço as inúmeras sugestões e aconselhamentos para melhorar este trabalho.

  Ao meu orientador, Prof. Dr. Adán Corcho, pela escolha do tema e pelo pronto atendimento de urgência nos momentos mais penosos. Por muitas vezes, debruçado sobre folhas e mais folhas de rascunho, julguei que ele tivesse superes- timado minha capacidade. Mas, como sempre acreditei: “amamos algo, na direta proporção a que nos custa” e, sem dúvida, este trabalho custou muito. O Prof. Adán, além de um brilhante pesquisador é um sujeito que em pouco tempo con- quistou minha admiração e simpatia, seu papel foi muito além da orientação. Já desde o primeiro dia em que cheguei a Maceió, sem saber que rumo iria tomar, recebeu-me como se fosse um conhecido de longa data, e isso não será esquecido.

  A execução deste trabalho foi financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL, durante os cinco primeiros meses, e pelo Con- selho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, durante os dezenove meses restantes. A estas instituições devo meu reconhecimento e aplausos por fomentarem e ajudarem a divulgar a pesquisa científica e auxiliar na formação de recursos humanos para a pesquisa no Brasil.

  “Não há país desenvolvido com universidade subdesenvolvida.” (Larent Schwartz) Resumo

  Este trabalho é dedicado ao estudo da boa colocação local e global do Problema de Cauchy associado à equação não linear de Schrödinger, com dado inicial não nulo no infinito.

  Palavras-chave: equações diferenciais parciais, equações de evolução, equa- ção de Schrödinger, espaços de Zhidkov. Abstract

  This work is dedicated to the local and global well-possednes study of Cauchy’s Problem associated to the nonlinear Schrödinger equation, to the initial data non- zero at infinity.

  Palavras-chave: partial differential equations, evolution equations, Schrödin- ger equation, Zhidkov spaces. Sumário

  9 . . . . . . .

  9

  . . . . . . . 12

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  26

  

   . . . . . 26

  . . . . . . . . . . 32

   . . . . . . . . . . . . . 37

  

  43

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  54

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  70

  71

  73

  75 Introdução

  O objetivo central deste trabalho é fazer um estudo detalhado do problema de valor inicial

  ⑨ ❾ 2 n

  iu u + f u , t

  • ∆ |u| = 0, x

  t x

  ∈ R ∈ R, (1) u(x, 0) = ϕ, associado à equação não linear de Schrödinger, onde a aplicação f : R

  → C, é,

  • pelo menos, diferenciável. A informação relevante, por ora, é a respeito do dado inicial; pretendemos estudar o problema quando ϕ não está no espaço das funções

  2

  quadrado integráveis L , mas mantem algumas propriedades de regularidade, a sa- ber: ϕ é limitada, uniformemente contínua, k vezes diferenciável e seu gradiente pertence ao espaço de Sobolev clássico de ordem k − 1. Os conjuntos de aplica- ções ϕ com tais propriedades são denominados espaços de Zhidkov e denotados

  k

  por X . Nos baseamos no trabalho desenvolvido primeiramente por Peter Zhid- kov em para dimensão 1 e, na sua posterior generalização, feita por Clément Gallo em para o caso n-dimensional.

  No capítulo 1, serão apresentadas algumas definições, como dos espaços de

  1 Lebesgue e de Schwartz, bem como da transformada de Fourier em L e no espaço

  de Schwartz, além de alguns dos resultados utilizados no decorrer desta monogra- fia. As propriedades e proposições listadas, na maior parte das vezes, tem sua validade confirmada por uma simples manipulação da definição e teoremas ante- riores; quando não for descrita uma demonstração cabal de algum dos teoremas listados, deixaremos a indicação de uma demonstração completa na bibliografia.

  k

  Ainda no capítulo 1, introduziremos os espaços de Zhidkov, X , e apresentare-

  k

  mos alguns exemplos de funções que pertencem a X . Demonstraremos algumas

  k

  propriedades importantes, tais como o fato de X ser uma álgebra e, como espaço,

  k−1 ser denso sobre X .

  No capítulo 2, definiremos o grupo de Schrödinger sobre os espaços de Zhid-

  k

  kov, {S(t)} , e mostraremos que este é uniformemente contínuo sobre X . Para

  t ∈R n

  tanto, nos valeremos de propriedades importantes a respeito da integração em R , que serão detalhadas no apêndice. A continuidade uniforme do grupo {S(t)} será exaustivamente explorada na obtenção de estimativas de boa colocação para o problema. Além disso, concluíremos que o gerador infinitesimal do grupo é o operador i∆.

  O capítulo 3 é destinado ao estudo da boa colocação local do problema Como ponto de partida, damos as definições de boa colocação local e de boa colo- cação global para equações de evolução e mostramos alguns resultados a respeito da existência e unicidade de soluções de em um intervalo [−T,T]. Em síntese,

  k

  mostramos que, se a norma em X do dado inicial é limitada, então existe um intervalo maximal e uma única solução clássica de neste intervalo.

  No quarto e último capítulo encontram-se alguns resultados a respeito das leis de conservação de energia para o problema quando n = 1 ou n = 2. Para ilustrar, destacamos como exemplos a Equação de Gross-Pitaevskii - caso em que

  ⑨ ❾

  2

  2 f em bem como suas generalizações.

  |u| = 1 − |u| Capítulo 1 Preliminares

  

1.1 Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de

Fourier

  Muitos dos avanços na generalização do conceito de integral são devidos ao matemático francês Henry Léon Lebesgue (1875-1941). Aqui e no decorrer do texto, a não ser que haja menção explícita em contrário, a integração é sempre no sentido dado por Lebesgue .

  n

  1 Definição 1.1.1. Sejam Ω um subconjunto aberto de R e ≤ p < ∞. O conjunto

  Z

  p p

  L ϕ : Ω − dx < (1.1) (Ω) = |ϕ(x)|

  → R; ∞

  Ω

  é um espaço vetorial cuja norma p é definida pondo, para cada função k.k

  L (Ω) p

  ϕ (Ω),

  ∈ L

  1 ❶ ➀

  Z

  p p p = dx . (1.2)

  L (Ω)

p

  |ϕ (x)| kϕk

  1 L

  Munido da norma p o espaço (Ω) é um espaço de Banach; L (Ω) k·k

  L (Ω)

  2

  é o espaço das funções módulo integráveis e L (Ω) é o espaço das funções qua- drado integráveis.

  Também é um espaço vetorial o conjunto

  ∞

  L (Ω) = ϕ : Ω − < , (1.3) → R;kϕ(x)k ∞ L (Ω) onde a norma é dada por k·k

  L (Ω)

  = sup (1.4) |ϕ(x)|. kϕk

  L (Ω) x ∈Ω

  ∞

  L O espaço (Ω) é, simplesmente, o espaço das funções limitadas em Ω; e, assim como os anteriores, também é um espaço de Banach ([Fe], p. 78).

  A transformada de Fourier surge a partir das considerações do matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a respeito da decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas, nos seus estudos sobre a condução do calor. Suas propriedades são importantíssimas no estudo de equações diferen- ciais, e faremos aqui um breve resumo de algumas delas.

  1 n

  (R ), a transformada de Definição 1.1.2 (Transformada de Fourier). Seja ϕ ∈ L

  ϕ é a função ϕ (ou F (ϕ)) definida por Ò Fourier de

  Z

  n − −i(ξ

  ·x)

  F

  2

  ϕ(ξ) = (2π) Ò ϕ(x)e dx, (1.5) (ϕ)(ξ) =

  n R n

  X x = (x , , x ξ onde ), ξ = (ξ ) e (ξ .

  n n 1 ··· ,x 1 ··· ,ξ · x) = j j j=1

  Valem algumas observações a respeito da transformada de Fourier, ver

  ∞ n

  ϕ é linear. Além disso, Ò ϕ Ò ) com (R

  Propriedade 1.1.1. A aplicação ϕ −→ ∈ L

  n

  1

  2 .

  kϕk ≤ (2π) kϕk

  L L n

  ϕ : R Ò − Propriedade 1.1.2.

  → C é contínua.

  1 n

  (R ), então Propriedade 1.1.3 (Lema de Riemann-Lebesgue). Seja ϕ ∈ L lim ϕ(ξ) = 0. Ò

  kξk→0 n

  Propriedade 1.1.4. Se T f(x) = f(x − h), para h , então

  

h ∈ R

−i(h ·ξ) Û

−i(x

  Ô ❜ ·ξ) ❜ T f(ξ) = e f(ξ) e e f(x)(ξ) = (T f)(ξ). h

  −h 1 n

  (R ), então Propriedade 1.1.5. Sejam f,g ∈ L

  Z Z

  ❜

  f(y)g(y)dy = f(y) ❜ g(y)dy. (1.6)

  n n R R

  Propriedade 1.1.6. Se f é o conjugado de f, então

  ❜

  f(ξ) = f(−ξ). Uma ferramenta fundamental no estudo das equações diferenciais é dada pela convolução entre duas funções que destacamos a seguir.

  1 n

  (R ), a convolução de f e g é defi- Definição 1.1.3 (convolução). Sejam f,g ∈ L nida por

  Z f(x − y)g(y)dy, (1.7) (f

  ∗ g)(x) =

  n R n

  para quase todo x .

  ∈ R Agrupamos abaixo algumas das principais propriedades das convoluções, que podem ser utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes vale a pena consultar Proposição 1.1.1. São válidas as seguintes propriedades:

  p n q n

  1

  1

  1

  • 1. Sejam f (R ), g (R ), onde p, q = 1 + para

  ∈ L ∈ L ∈ [1,∞] com

  p q r

  r algum ∈ [1,∞], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções,

  r n

  ) f (R r p q . ∗ g ∈ L e kf ∗ gk ≤ kfk kgk

  L L L

  f 2.

  ∗ g = g ∗ f. λ(f 3.

  ∗ g) = (λf) ∗ g = f ∗ (λg) para todo λ ∈ C. 4. ( f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). f 5.

  ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h).

  1 n

6. Sejam

  f, g (R ), então ∈ L

  n × ❜

  2

  (f f(ξ) g(ξ). ❜ ∗ g)(ξ) = (2π)

  p Para finalizar esta seção, introduzimos a noção de diferenciabilidade em L . p n

  (R ) é diferenciável com relação à k-ésima Definição 1.1.4. Uma função f ∈ L

  p n

  variável se existe g ) tal que, para (R

  ∈ L

  p

  Z

  ☞☞ ☞☞

  f(x + h) − f(x) lim h = h e tem-se − g(x) dx = 0;

  ☞☞ ☞☞ k k →0 n ☞ ☞ h h k

  

R k

  quando existe (e, neste caso, é única) uma tal função g é chamada derivada par-

  p cial de f com relação à k-ésima coordenada na norma L .

  

1.2 O Espaço de Schwartz e as Distribuições Tem-

peradas

  Laurent Schwartz(1915-2002), matemático e pensador dos mais influentes, é o inventor da Teoria das Distribuições e, por conta do seu desenvolvimento, foi o primeiro matemático francês a ser agraciado com a medalha Fields. É considerado um dos ícones da história recente da França.

  Para definir o espaço de Schwartz, necessitamos de algumas noções prelimi- nares. Uma notação importantíssima (e que será usada em todo o texto) é a noção de multi-índice que apresentamos a seguir. Aqui denotaremos por N o conjunto dos inteiros positivos e por N o conjunto dos números inteiros não negativos.

  n

  , α , ) Definição 1.2.1. Uma n-upla α = (α é chamada um multi-

  n

  1 2 ··· ,α ∈ N índice. n

  Sejam α e β são multi-índices, e seja x = (x , x , ) . Escrevemos:

  1 2 n

  ··· ,x ∈ R ;

  (i) |α| = α

  • α

  1 2 ··· + α n α α α α 1 2 n

  (ii) x x ; = x

  ···x

  ✒ ✓ ✒ ✓ ✏ ✑ α αn

  α1 α2 ∂ ∂ ∂ ∂

  (iii) =

  α αn α1 α2 ···

  ∂x ∂x n

  ∂x ∂x

  1

  2 α α α

  1 2 α n

  ou ∂ ∂ ; = ∂

  x x x 1 2 ···∂ x n

  > β (respectivamente, α ), (iv) α > β (respectivamente, α ≥ β) quando α

  i i i ≥ β i

  para todo i ∈ {1,··· ,n}; (v) Se α > β,α − β = (α , α , );

  − β − β − β

  1

  1

  2 2 n n

  ··· ,α ! !;

  (vi) α! = α !α

  1 2 ···α n ⑨ ❾

  α α!

  (vii) Se α > β, = .

  β β!(α−β)!

  Definição 1.2.2. O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescen-

  n n

  R R ), é formado pelas funções tes) em , que denotaremos por S (

  ☞☞ α β ☞☞ n ∞ n

  f : R − ) e = sup x ∂ f(x) < (R ☞ ☞

  → C tais que f ∈ C kfk ∞, quaisquer

  α,β n x ∈R

  α e β. que sejam os multi-índices

  O espaço de Schwartz goza das seguintes propriedades, que podem ser con- sultadas em n

  Propriedade 1.2.1. S (R ) é um espaço vetorial sobre C, e, quando munido da métrica X kf − gk

  α,β −(|α|+|β|)

  d(f, g) =

  2 1 + kf − gk

  n α,β α,β ∈N é um espaço métrico completo.

  |x|2 − ∞ n

  ⊂ S (R

  2 Propriedade 1.2.2. C ), mas f(x) = e é um exemplo de função

  ∞ n que está no complementar de C em S ( R ). n p n

  ) e denso sobre Propriedade 1.2.3. S (R ) é subconjunto próprio de L (R

  

p n ∞ p n

  L L )).

  (R ), para todo p também é denso sobre (R ∈ [1,∞) (Observe que C

  ∞ n n

  Porém, S ( R ) não é denso sobre L (R ).

  Temos ainda, aplicando a definição, as seguintes regras de derivação no espaço de Schwartz:

  n α α n

  f, ∂ f ) para todo multi- ). Então, x

  Teorema 1.2.1. Seja f ∈ S (R ∈ S (R índice α. Valem ainda:

  ⑨ ❾ α |α|

  ❜ Ö α

  ∂ f f)(ξ); (i) (ξ) = (−i) (x

  |α| α Ö α ❜

  | (ii) (∂ f)(ξ) = (i) |ξ f(ξ). Além disso, a transformada de Fourier no espaço de Schwartz é um isomor- fismo e, por isso, temos a seguinte definição:

  n

  ), a transformada de Fourier inversa é definida Definição 1.2.3. Seja f ∈ S (R pela fórmula

  Z

  n − −1 i(x

  ·ξ)

  F

  2

  e f(ξ)dξ. (1.8) (ϕ)(x) = ˇf(x) = (2π)

  n R Nossa noção de convergência em S é definida do modo usual.

  ∞ n

  ) converge para uma certa Definição 1.2.4. Uma sequência (ϕ) em S ( R

  

m=1

n

  função ϕ ) se, e somente se, ∈ S (R lim

  − ϕ = 0,

  m

  kϕ k

  α,β m →∞

  α e β. quaisquer que sejam os multi-índices S

  Neste caso, denotamos ϕ m → ϕ. Agora, para introduzir os espaços de Sobolev, necessitamos definir as distri- buições temperadas (ou funções-teste), que nada mais são que funcionais lineares contínuos.

  n

  ) Definição 1.2.5. Uma aplicação linear T : S (R

  → C é uma distribuição tempe-

  S C

  T é contínua; isto é, quando T (ϕ ) rada quando

  m m → T(ϕ) sempre que ϕ → ϕ. n ′

  ) o conjunto de todas as distribuições temperadas. Denotamos por S (R

  n

  ) Usamos a notação hT,ϕi, para representar a imagem em C de ϕ ∈ S (R pela distribuição temperada T.

  ∞ ′ n

  Definição 1.2.6. Dizemos que uma sequência (T ) em S ) converge (R

  m m=1 n

  T ) quando, para ∈ S (R

  n

  lim , ϕ ). (1.9) hT m i = hT,ϕi,∀ϕ ∈ S (R

  →∞ m ′

  S

  Neste caso, denotamos ϕ

  m → ϕ. p

  Dada uma função em L , com p

  ≥ 1, é possível construir uma distribuição temperada como segue:

  p n

  , definida por (R ) e p

  Proposição 1.2.1. Sejam f ∈ L ∈ [1,∞). A aplicação T f Z

  , ϕ (ϕ) = f(x)ϕ(x)dx, hT f i = T f

  n R n

  ϕ para toda ), é uma distribuição temperada.

  ∈ S (R Esse resultado, que também pode ser consultado em nos remete à seguinte definição.

  Definição 1.2.7. Dizemos que uma distribuição temperada provém de uma função

  p n p n

  em L .

  (R ), quando existe uma função f (R ) tal que T = T

  f

  ∈ L Observação 1.2.1. Nem toda distribuição temperada provém de uma função em

  p

  L , o exemplo clássico é dado pela função delta de Dirac, definida por

  n

  δ (ϕ) = ϕ(x), ).

  x

  ∀ϕ ∈ S (R Para finalizar esta seção, destacamos as seguintes regras, que relacionam as distribuições temperadas com a derivação e com a transformada de Fourier, res- pectivamente. n ′

  (R ) e α um multi-índice, definimos a derivada Definição 1.2.8. Sejam T ∈ S de ordem α da distribuição T pondo

  

α |α| α n

  T, ϕ ϕ (1.10) ). h∂ i = (−1) hT,∂ i,∀ϕ ∈ S (R

  n ′

  ) podemos definir a transformadada de Fourier (R

  Definição 1.2.9. Seja T ∈ S

  n

  da distribuição T, bem como sua inversa, pondo, para toda função ϕ ), ∈ S (R hF (T),ϕi = hT,F (ϕ)i e

  (1.11)

  

➡ ➯ ➡ ➯

−1 −1

  F = T, F .

  (T ), ϕ (ϕ)

  n n ′ ′

  ) − ) é um Observação 1.2.2. A transformada de Fourier F : S (R (R

  → S isomorfismo topológico.

1.3 Os Espaços de Sobolev

  Sergei Lvovich Sobolev(1908-1989) foi um dos fundadores do Instituto de Matemática da Akademgorodok (que surgiu como resultado da criação da Divisão Siberiana da Academia de Ciências Russa, da qual foi um dos idealizadores), atualmente, Instituto de Matemática Sobolev. Também atuou como vice-diretor do Instituto de Energia Atômica soviético, entre 1943 e 1957, onde participou do projeto da bomba atômica da extinta URSS.

  Definição 1.3.1. Seja s ∈ R. O espaço de Sobolev de ordem s, classicamente

  s n n ′

  ) definido por denotado por H (R ), é o subespaço de S (R

  s ⑨ ❾ s n n

  2

  2 2 n ′

  ❜

  H ) = f ); 1 + |ξ| f(ξ) ) . (1.12) (R (R (R

  ∈ S ∈ L

  s ⑨ ❾

  

2

  2 Ô s ❜

  Λ f(ξ) = 1 + |ξ| f(ξ) a transformada de Fourier no es- Denotaremos por paço de Sobolev. A norma s , ou , é definida por k·k k·k

  H s,2 s

s = f

2 . (1.13)

  kfk H kΛ k L

  o n ′ n 2 n 2 n ❜

  Observação 1.3.1. H ) = f ) ; f (ξ) ) (R (R (R = L (R ) .

  ∈ S ∈ L A seguir, além de destacarmos um exemplo clássico de uma classe de funções

  s

  1

  no espaço de Sobolev H , para s < , introduzimos a notação usada para denotar a

  2 função característica de um conjunto, que nos acompanhará no decorrer do texto.

  Exemplo 1.3.1. Para n = 1, consideremos a função característica do intervalo [a, b] , isto é,

  1, se x ∈ [a,b];

  χ =

  [a,b]

  0, x / se ∈ [a,b]. Temos

  

sen(2πξ)

  

πξ

  , se ξ 6= 0;

  χ Ö (ξ) =

  [a,b] 2 se ξ = 0.

  Logo,

  ✌✌ ✌✌ ✌✌ s ✌✌

  χ = Λ χ

  ✌ ✌ ✌ ✌ [a,b] [a,b] s

2 H L

  1 ✥ ✦

  Z ✕ +

  ∞ s

  2

  2 ✔✏ ✑

  2

  2

  = = 1 + |ξ| χ Ö (ξ) dξ

  [a,b]

  (1.14)

  − ∞

  1 ✥ ✦

  Z +

  ∞

  2

  2 ✏ ✑ s sen

  (2πξ)

  

2

  = 1 + |ξ| dξ < ∞

  2

  2

  π ξ

  − ∞ 1 s < .

  se, e somente se,

2 A seguir, agrupamos algumas propriedades dos espaços de Sobolev. Outras podem ser encontradas em [Io].

  Proposição 1.3.1. Sejam s,s , s

  1 2 ∈ R, então s n s n

  1

  s ) ; (i) Se (R ) ( H (R

  1 ≥ s ≥ 0, então H s n

  ) está definido por (ii) Se o produto interno em H (R

  Z

  s s

  s

n

  = Λ f(ξ)Λ g(ξ)dξ, hf,gi

  R s n s n

  ) é um espaço de Hilbert; para todos f, g (R ), então H (R

  ∈ H

  n s n

  (iii) S(R ); ) é denso em H (R

  (iv) Se s , com s = θs , θ

  • (1 − θ)s

  1

  2

  1

  2

  ≤ s ≤ s ∈ [0,1], então

  θ 1−θ s . s1 s2

  kfk ≤ kfk kfk

  H H H 2 s 2 s

  1 Demonstração. , então (1 + |ξ| ) ) o que implica

  (i) Sejam s ≤ s

  1

  ≤ (1 + |ξ|

  1

  1 ❶ ➀ ❶ ➀

  Z Z

  2

  2 2 s

  2 2 s

  2 ❜ 1 ❜

  ) | f(ξ)| dξ ) | f(ξ)| dξ . (1.15) (1 + |ξ| (1 + |ξ|

  ≤

  n n R R s n

  1

  (R ), a integral no segundo membro de é finita e, portanto, Logo, se f ∈ H a integral no primeiro membro também converge; assim, f também pertence a

  s n

  H (R ). Além disso, a inclusão é contínua.

  As demonstrações dos demais itens podem ser encontradas em s n n (R ) ( H (R ).

  Observação 1.3.2. Em particular, se s ≥ 0 então H Uma caracterização importante dos espaços de Sobolev, que relaciona os es-

  k

  2

  paços H e L , e que será útil à introdução dos espaços de Zhidkov, é dada pelo seguinte resultado.

  k n

  ) coincide com e α um multi-índice. Então, H (R Teorema 1.3.1. Sejam k ∈ N o espaço

  2 n α

2 n

f f ) .

  (R ); ∂ (R sempre que |α| ≤ k ∈ L ∈ L

  x k n

  Demonstração.

  (R ). Para todo multi-índice α temos: Seja f ∈ H

  α α α 1 2 α

n

  | ξ | |ξ = |ξ

  ···ξ n

  1

  2 α α2 αn

  2

  2

  2

  | ) (1 + |ξ|)

  ≤ (1 + |ξ

  1 ···(1 + |ξ|) |α|

  2 .

  ≤ (1 + |ξ|) Combinando este fato ao Teorema juntamente com o conhecido Teorema de Plancherel, temos:

  Z

  

2

  2

  2 α ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞ α α

  = = f

  2 ∂ f ∂ f(ξ) dξ ✌Ô ✌ ☞Ô ☞

  k∂ k

  L

  

2

n

  R

  Z

  2 ☞☞ |α| α ☞☞ ❜

  = | i |ξ f(ξ) dξ

  ☞ ☞ n

  R

  Z

  2 2α ☞☞ ☞☞

  | = c |ξ f(ξ) dξ

  ☞❜ ☞ n

  R

  Z

  ⑨ ❾

  2 α 2 ☞☞ ☞☞ 1 + |ξ| f(ξ) dξ.

  ☞❜ ☞

  ≤ c

  n R

  Logo, sempre que |α| ≤ k, temos Z

  ⑨ ❾

  2

k

2 α

  2 ☞☞ ☞☞

  f

  2 1 + |ξ| f(ξ) dξ < ☞❜ ☞ k∂ k ≤ c ≤ ckfk ∞.

  

L k,2

n

  R α 2 n

  Então, ∂ f (R ).

  ∈ L

  2 n α 2 n

  ) ) (R e suponha que ∂ f (R sempre que

  Reciprocamente, seja f ∈ L ∈ L |α|

  ≤ k. Daí,

  k ⑨ ❾

  X

  k

  2

  2 2 ☞☞ ☞☞ 2j ☞☞ ☞☞

  1 + |ξ| f(ξ) = c f(ξ)

  ☞❜ ☞ |ξ| ☞❜ ☞ j j=0

  2 ☞☞ ☞☞

  α ❜

  que, por sua vez, é combinação linear de termos da forma ξ f(ξ) , com |α|

  ☞ ☞ ≤ k. k

  Z Z

  ⑨ ❾

  2 k 2 ☞☞ ☞☞ 2j ☞☞ ☞☞ k = 1 + |ξ| f(ξ) dξ = c f(ξ) dξ <

2 X

  H n n

  ☞❜ ☞ |ξ| ☞❜ ☞ Então, kfk j ∞.

  R R j=0 Para finalizar esta seção, introduzimos dois resultados relevantes para o an- damento desta dissertação, ambos conhecidos como Mergulho de Sobolev, que

  s k s p

  relacionam as funções em H e C , e H e L , respectivamente. Maiores detalhes podem ser encontrados em

  n s n

  s ) está e + k. Então, H (R Teorema 1.3.2. Sejam k ∈ N ∈ R, tais que s >

  2 k n

  C continuamente imerso no espaço (R ), das funções com k derivadas contí-

  ∞ s n n

  nuas e que se anulam no infinito. Isto é, se f (R ), com s > + k, en- ∈ H

  2

  tão (após uma possível modificação de f sobre um conjunto de medida nula)

  k n f ) e .

  (R k = c s

  s

  ∈ C ∞ kfk kfk

  C H Consideremos no primeiro caso, k = 0.

  Demonstração.

  n

  . Da desigualdade de Hölder (ver, por exemplo, segue: Seja s ∈ R,s >

2 Z

  ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞

  f = f(ξ) dξ

  ✌❜ ✌ ☞❜ ☞

  1 L n R

  Z

  s s ⑨ ❾ ⑨ ❾

  −

  2 2 ☞☞ ☞☞

  2

  2

  = 1 + |ξ| f(ξ) 1 + |ξ| dξ

  ☞❜ ☞ n

  R

  1 ➊ ➍

  Z

  2 ⑨ ❾

  

−s

2 s

  1 + |ξ| dξ f 2 = c s .

  s

  ≤ kΛ k kfk

  L H n

  R ✌✌ −1 ✌✌ ✌✌ ✌✌

  F = f .

  

p (F (f)) s

  Além disso, kfk ✌ ✌ ✌❜ ✌ s ≤ ≤ c kfk

  L p

  1 H L L s n n

  ) com s > (R + k. Então, para todo

  Para o caso geral, k ≥ 1, seja f ∈ H

  2 n α s−k n

  , temos ∂ f (R ). Do caso multi-índice α, satisfazendo |α| ≤ k < s −

  ∈ H

  2 α ∞ n k

  ) k = 0 segue ∂ f (R e, portanto, f é C . ∈ C

  n 2n e p = .

  Teorema 1.3.3. Seja n ∈ N, e sejam s,p ∈ R tais que 0 < s <

  2 n−2s s n p n

  Então, H (R ) está continuamente imerso em L (R ). Além disso, p s . kfk ≤ ckfk

  

L H

Uma demonstração deste resultado pode ser consultada na página 51 de

1.4 Os Espaços de Zhidkov

  Assim como introduzidos por P. E. Zhidkov em e, posteriormente, batizados e estendidos para o caso n-dimensional por Clemént Gallo em trataremos aqui do espaço das fun- ções limitadas, uniformemente contínuas, k vezes diferenciáveis com a seguinte condição adicional: para cada uma delas, o gradiente está no espaço de Sobolev clássico de ordem k − 1. Mais especificamente, temos a seguinte definição: k n

  ) é Definição 1.4.1. Sejam k e n números naturais. O espaço de Zhidkov X (R é o completamento do espaço

  ∞ n k n k−1 n

  ϕ ) )

  (R (R (R

  ); ϕ é uma função uniformemente contínua e ∇ϕ ∈ L ∩C

  ∈ H na norma

  X

  α

  := ϕ . (1.16) +

  k

  2

  kϕk kϕk k∂ k

  

X L L

|α| ≤k n

  − Exemplo 1.4.1. Para cada t > 0, a função φ : R

  t

  → R definida por

  |x|2 n − − k n

  2 4t

  φ e

  X (x) = (4πt) (núcleo do calor) pertence a (R ), para todo k

  t ∈ N.

  ❚ ∞ ∞ n n

  Evidentemente φ ) C ) e é uniformemente contínua. Além disso, (R (R

  t ∈ L 2x i

  ∂ φ = − φ

  n

  e, portanto,

  x t t i

  2 4t(4πt)

2x

  φ(x). ∇φ(x) = −

  

n n+2

  2

  2 π (4t) α α

  Daí, ∂ φ (x) = C(t)x φ (x), para todo multi-índice α.

  t t

  Logo,

  1 ❶ ➀

  Z

  2 α α

  2

  φ = φ dx

  2 |C(t)x (x)| t t

  k∂ k

  L n

  R

  1 ❶ ➀

  Z

  2 |x|4 − 2α −n

  16t

  = |C(t)| x (4πt) e dx < ∞.

  n R k

  φ Então, .

  ∈ X

  n k n

  , sejam ϕ Exemplo 1.4.2. Fixado k > (R ) e z

  ∈ H ∈ C uma constante. Então,

  2 k n k n k n n

  ) φ := ϕ + z (R ). Em particular, H (R (R ), sempre que k > . ∈ X ⊂ X

  2 Exemplo 1.4.3. Para n = 1 as funções tangente hiperbólica e arco tangente estão k n

  em

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