Repositório UFAL: Rigidez de esferas bidimensionais área minimizantes em variedades tridimensionais

  UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA DISSERTAC ¸ ˜ AO DE MESTRADO

  

Rigidez de esferas bidimensionais ´ area minimizantes

em variedades tridimensionais

Jos´ e Anderson de Lima e Silva

  Macei´ o, Brasil Mar¸co de 2015 JOS´ E ANDERSON DE LIMA E SILVA RIGIDEZ DE ESFERAS BIDIMENSIONAIS ´ AREA MINIMIZANTES EM VARIEDADES

  TRIDIMENSIONAIS Disserta¸c˜ao de Mestrado, na ´area de concentra¸c˜ao de Geometria Diferencial submetida em 13 de Mar¸co de 2015 `a banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matem´atica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de mestre em Matem´atica. Orientador: M´arcio Henrique Batista da Silva

  Macei´o, Brasil Mar¸co de 2015

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecário Responsável: Valter dos Santos Andrade S586r Silva, José Anderson de Lima e.

  Rigidez de esferas bidimensionais área minimizantes em variedades tridimensionais / José Anderson de Lima e Silva – 2015. 23 f. Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.

Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

Instituto de Matemática. Programa de Pós Graduação em Matemática. Maceió, 2015.

  Bibliografia: f. 22-23.

  1. Imersão. 2. Superfícies mínimas. 3. Curvatura escalar . 4. Superfície com curvatura média constante .

  

5. Isometria.

  I. Título. CDU: 514.756.24

  A Jesus

  

“Um sonho adiado por um ano, em virtude de uma encefalite que

n˜ao se sabe de onde veio. Mas gra¸cas ao nosso bom Deus e a

pessoas extraordin´arias, fiquei curado e o dia t˜ao desejado chegou.

  Obrigado senhor Jesus” Agradecimentos

  Em primeiro lugar, a Deus por todo seu amor e cuidado, e por sempre estar comigo em todos os momentos dif´ıceis. A minha m˜ae, Regina Lima por todo seu amor e dedica¸c˜ao para comigo. A minha amada noiva Renata Moreira pelo companheirismo, cuidado, amor e incentivo. Aos meus familiares pelo amor, cuidado e por tornarem a minha vida t˜ao alegre e suave. Em especial a minha querida irm˜a Aleide Lima pela amizade, amor e cuidado.

  Ao orientador e amigo M´arcio Batista pela amizade, paciˆencia, cuidado para com minha orienta¸c˜ao e pelos seus conselhos t˜ao ´ uteis academicamente e na minha vida pessoal, os quais levarei comigo para sempre.

  Agrade¸co aos professores do Instituto de Matem´atica da UFAL, que fizeram parte de mais essa etapa da minha forma¸c˜ao acadˆemica. Ao professor Marcos Petr´ ucio e ao professor Feliciano Vit´orio por sempre estar dispon´ıvel para tirar duvidas.

  Ao Dr. Fernando Ten´orio Gameleira por seu brilhante trabalho na medicina. Obrigado por tudo. A todos os colegas de turma e da sala de estudo. Em especial aos amigos Rog´erio Vit´orio e Robson Silva pelas conversas matem´aticas e pelas distra¸c˜oes durante o coffee da tarde. A

  Diego Chicuta e Fabr´ıcio Lira pelas ajudas nos problemas computacionais. Aos alunos de doutorado Jos´e Ivan Santos e Abra˜ao Mendes pela amizade, e por sempre estarem dispon´ıveis para tirarem minhas d´ uvidas.

  A todos os funcion´arios da UFAL. Em especial aos Funcion´arios do Instituto de Ma- tem´atica, com ˆenfase para dona Maria, pelo caf´e sempre dispon´ıvel. Enfim, a CAPES pelo apoio financeiro. Resumo

  Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta tridimensional. Temos que

  2

  , f g R inf{´area(S ) ; f ∈ F} · inf ≤ 4π, M

  2 onde F ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes suaves f : S → M e R ´e a curvatura escalar de M.

  Se vale a igualdade, mostraremos que o recobrimento universal de (M, g) ´e isom´etrico a um cilindro. Palavras chave: Imers˜ao, superf´ıcies m´ınimas, curvatura escalar, superf´ıcie com curvatura m´edia constante, isometria.

  Abstract

  Let (M, g) be a compact three-manifold. We have

  2

  , f g R inf{area(S ) ; f ∈ F} · inf ≤ 8π, M

  2 where F denotes the set of all smooth maps f : S → M and R is the scalar curvature of M.

  If equality holds, we show that the universal cover of (M, g) is isometric to a cylinder. Palavras chave: Immersion, minimal surfaces, scalar curvature, constant mean curvature surfaces, isometry.

  Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Preliminares 2 1.1 Defini¸c˜oes e fatos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.2 Primeira e segunda varia¸c˜ao da ´area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3 Reescalonado uma m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4

  2 Prova do resultado 7 2.1 Desigualdade Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 2.2 Rigidez da Desigualdade Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  21 Introdu¸c˜ ao

  Neste trabalho consideraremos (M, g) uma variedade Riemanniana compacta tridimensi-

  2

  onal. Denote por F o conjunto das aplica¸c˜oes suaves f : S → M e defina

  2

  , f g A(M, g) := inf{´area(S ) ; f ∈ F}. O resultado que abordaremos aqui, foi provado em 2010 por H. Bray, S. Brendle e A. Neves, onde eles consideram (M, g) com curvatura escalar positiva e provam que

  R A(M, g) inf ≤ 8π. M Al´em disso, se a igualdade ocorre ent˜ao o recobrimento universal de (M, g) ´e isom´etrico ao

  2

  cilindro S × R.

  Esse trabalho est´a inserido em uma linha de pesquisa bastante f´ertil, ver [3], [4], [6], [7] e [8], e as referˆencias por eles citadas. O caso de superf´ıcies foi tratado primeiramente por Galloway em [4], o qual usa a t´ecnica de deforma¸c˜ao local e em seguida um processo de colagem adequado para assim poder aplicar um resultado de Schoen e Yau, [11]. Em seguida, Bray et al trata o caso de planos projetivos em variedades tri-dimensionais. A prova deste usa fortemente a existˆencia da solu¸c˜ao em tempos curtos para o fluxo de Ricci, ver [15]. O trabalho seguinte ´e o alvo desta disserta¸c˜ao e j´a explanamos sobre o mesmo no par´agrafo anterior. Mais recentemente, Nunes [7] completou a descri¸c˜ao do quadro at´e agora exposto, provando o caso em que o ambiente pode ter curvatura negativa e o gˆenero da superf´ıcie ´e maior que um. M. Micallef e V. Moraru [16] fazem uma prova unificada de [4], [5] e [7] com abordagens diferentes. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, fixaremos nota¸c˜oes e apresentaremos as principais defini¸c˜oes e fatos que ser˜ao utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Vale ressaltar que o conhecimento pr´evio de fatos b´asicos de geometria Riemanniana ser´a de grande utilidade para uma boa leitura do texto.

1.1 Defini¸c˜ oes e fatos b´ asicos

  Considere (M, g) uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n. A curvatura R de M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ X (M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X (M) → X (M) dada por Y X Z X Y Z Z,

  [X,Y ]

  R(X, Y )Z = ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ onde Z ∈ X (M) e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M. Aqui X (M) denota o espa¸co dos campos de vetores suave em M .

  O tensor curvatura de Riemann de (M, g) ´e definido por Y X Z Z Z, W X Y ),

  [X,Y ]

  R(X, Y, Z, W ) = g(∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ onde X, Y, Z, W ∈ X (M). Algumas vezes, denotaremos a m´etrica g por h·, ·i. Para quaisquer campos X, Y, Z, W em X (M), o tensor curvatura de Riemman satisfaz `as seguintes rela¸c˜oes de simetria

  (1.1) hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, X)Z, W i e hR(X, Y )Z, W i = −hR(X, Y )W, Zi. Ver demostra¸c˜ao de (1.1) em [2], Proposi¸c˜ao 2.5, p´agina 102. p , o n´ umero real M

  Dados um ponto p ∈ M e um subespa¸co bidimensional σ ⊂ T (X, Y, X, Y )

  K (X, Y ) = ,

  2

  |X ∧ Y |

  ´e chamado curvatura seccional de σ em p, onde {X, Y } ´e uma base de σ, (X, Y, X, Y ) =

  2

  2

  2

  2

  . O n´ umero K(X, Y ) independe da base hR(X, Y )X, Y i e |X ∧ Y | = |X| |Y | − hX, Y i {X, Y } escolhida (ver Proposi¸c˜ao 3.1 em [2], p´agina 104).

  A curvatura de Ricci de (M, g) em p ∈ M ´e a forma bilinear sim´etrica X n Ric , Y, e

  (X, Y ) = i i ), i R(X, e

  

=1

, ..., e M. n p

  1

  onde {e } ´e uma base ortonormal de T A curvatura escalar de (M, g) em p, ´e definida por X n

  R Ric , e = (e i i ), i

  =1 , ..., e M. n p

  1

  onde {e } ´e uma base ortonormal de T n

  • m

  Considere ( ¯ M , g ) uma variedade Riemanniana com a conex˜ao riemanniana ¯ n n +m ∇. Sejam f M

  : M → ¯ uma imers˜ao isom´etrica e p ∈ M, podemos provar usando a f´ormula de

  Koszul que a conex˜ao Riemanniana de M dada por X Y = ( ¯ Y ) , X ∇ ∇ e a segunda formula fundamental de M em p, denotada por II ´e definida como sendo

  II (X, Y ) = ( ¯ X Y ) ,p . M onde X, Y ∈ T

  O vetor curvatura m´edia H(p) de f em p ∈ M, ´e definido por X n H

  II , e (p) = (e i i ), i =1

  , ..., e M 1 n p . onde {e } ´e uma base ortonormal de T

  Sejam X, Y, Z ∈ T M e A o operador sim´etrico associado `a II, a express˜ao dada por R(X, Y )Z = ¯ R(X, Y )Z + hAX, Zi AY − hAY, Zi AX, ´e chamada a equa¸c˜ao de Gauss (ver [10], p´agina 4).

  1.2 Primeira e segunda varia¸c˜ ao da ´ area n n

  • 1

  Seja f : Σ uma imers˜ao, onde Σ ´e compacta. Considere f t → M

  : Σ × (−ǫ, ǫ) → M uma varia¸c˜ao normal de Σ, onde ǫ > 0 e f ´e uma fun¸c˜ao suave tal que f (x, 0) = x, para todo x t ∈ Σ e f = f (t, ·) : Σ → M ´e uma imers˜ao para cada t ∈ (−ǫ, ǫ) fixo. Proposi¸c˜ ao 1.1 (Primeira formula da varia¸c˜ao da ´area) Temos Z d V (Σ t )

  = − hX, Hi dv, dt t Σ

  =0

∂f

onde X denota o campo de vetor variacional (x, 0), V (Σ t ) e dv denotam a ´area de Σ t e o

∂t

elemento de ´area de Σ respectivamente.

  Demonstra¸c˜ ao. Ver cap´ıtulo 1, se¸c˜ao 3 em [13]. Defini¸c˜ ao 1.1 Uma imers˜ao f : Σ → M ´e dita m´ınima, se a curvatura m´edia H ´e identi-

  camente nula. t

  Para a Proposi¸c˜ao abaixo, considere f : Σ → M uma imers˜ao m´ınima e seja f : Σ × (−ǫ, ǫ) → M uma varia¸c˜ao normal de uma Σ compacta. Denotaremos por X = ξN o campo variacional.

  Proposi¸c˜ ao 1.2 (Segunda formula da varia¸c˜ao da ´area) Temos Z

  2

  d

  2

  2

  2 V (Σ ) = Ric )ξ dv, t

  |∇ξ| − ( ¯ (N, N ) + |A|

  2

  dt t =0 Σ onde ∇ξ denota o gradiente em Σ da fun¸c˜ao ξ.

  Demonstra¸c˜ ao. Ver cap´ıtulo 1, se¸c˜ao 8 em [13].

  Dizemos que uma imers˜ao m´ınima f : Σ → M ´e est´avel, se para cada varia¸c˜ao normal suave f t de Σ tivermos Z

  2

  d

  2

  2

  2 V (Σ t ) = Ric )ξ dv |∇ξ| − ( ¯ (N, N ) + |A| ≥ 0.

  2

  dt t Σ

  =0

  Seja Σ t uma varia¸c˜ao suave de Σ e considere ρ t = g(N t (x), f t (x)). Assim ∂t d

  2 H (t) = ∆ρ + ( ¯ Ric (N (x), N )ρ , (1.2) t t t t t

  − (x)) + |II | dt onde N t (x) denota o campo de vetores normal unit´ario em Σ t e os demais elementos j´a conhecidos que est˜ao com ´ındice t referem-se `a Σ t , (ver [8], p´agina 39).

1.3 Reescalonado uma m´ etrica

  Proposi¸c˜ ao 1.3 Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana e c > 0 um n´ umero real, ent˜ao g ¯ = c g ´e uma m´etrica e vale as seguintes rela¸c˜oes g g g g g 1 g ¯ ¯ ¯

  R , Ric = Ric e R = . (i) R = R c (ii) A(M, ¯g) = c · A(M, g).

  Demonstra¸c˜ ao. De

  

2

  , f g A(M, g) = inf{´area(S ) ; f ∈ F}. Se c > 0, temos

  

2

  , f A(M, c g) = inf{´area(S (cg)) ; f ∈ F}. Agora Z Z p

  2 ∗ ∗

  2

  , f g c g ´area(S (c g)) = pdet(c f ) dx dy = det(f ) dx dy S S Z 2 2

  2

  g , f g = c pdet(f ). S 2 ) dx dy = c · ´area(S Assim A(M, c g) = c · A(M, g).

  Seja ¯ g = c g, seus s´ımbolos de Christooffel s˜ao dados por X ∂ ∂ ∂ k

  1 lk ¯ g g g g

  Γ = + ij ¯ jl ¯ li ¯ ij ¯ − 2 ∂x i ∂x j ∂x k X l 1 ∂ ∂ ∂ lk

  1

  c g g g g = ( jl li ij ) )

  • ∂x ∂x ∂x 2 i j k
  • X l 1 ∂ ∂ ∂ lk = + g jl g li g ij

      − · (c

      − · g 2 ∂x i ∂x j ∂x k k l .

      = Γ ij Donde g g g g

      ¯ ¯ .

      R (X, Y )Z = R (X, Y )Z. Isto ´e, R = R Por defini¸c˜ao, temos que g g X

      ¯ ¯

      Ric g , Y (X, Y ) = ¯ (X, E i )E i ), (1.3) i (R

      √ √

      1 i i j ) = δ ij , da´ı g(E i j ) = ij , ent˜ao g( i j ) = , E , E δ cE , cE onde {E } ´e ortonormal para ¯g. Isto ´e, ¯g(E c

      √ δ ij cE i e portanto { } ´e ortogonal para g.

      Assim por (1.3), vem que ¯ g X Ric (X, Y ) = c g i )E i , Y ) X i (R(X, E √ √ c c g , Y

      = i )E i ) X i · (R(X, E √ √ g cE cE , Y

      = i ) i ) i g (R(X, = Ric (X, Y ). Logo g g

      ¯ j Ric = Ric .

      Para {E } ortonormal, temos por defini¸c˜ao ¯ g g ¯ g X X R = Ric (E j , E j ) = Ric (E j , E j ) j j X X

      1 g g 1 √ √ c Ric , E Ric cE , cE = (E j j ) = ( j j ) c c j j

      1 g R . = c

      Reescrevendo ¯ g g

      1 R = R . c Cap´ıtulo 2 Prova do resultado

      Aqui, enunciaremos o principal resultado deste trabalho e faremos a sua prova. Na se¸c˜ao (2.1) come¸camos enunciando o Teorema principal e em seguida faremos a prova da desigual- dade geom´etrica. Na se¸c˜ao (2.2) ´e feito o estudo sobre rigidez da desigualdade geom´etrica.

    2.1 Desigualdade Geom´ etrica

      Teorema 2.1 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana compacta com π

      2

      (M ) 6= 0. Temos

      que

      ¯ R

      A(M, g) inf ≤ 8π, M

      2 R

      , f g

      onde ¯ ´e a curvatura escalar de (M, g) e A(M, g) := inf{´area(S ) ; f ∈ F}. Al´em disso

      2 se vale a igualdade, ent˜ao o recobrimento universal de (M, g) ´e isom´etrico ao cilindro S

      × R munido da m´etrica produto padr˜ao. Vamos apresentar alguns resultados preliminares que ser˜ao necess´arios na prova da desi- gualdade. O primeiro resultado ´e:

      

    2

    Proposi¸c˜ ao 2.2 Dada qualquer imers˜ao f : S Z → M, temos 2

      ( ¯ R Ric ) dµ f g S 2 − 2 ¯ (N, N ) − |II| ≤ 8π, onde II representa a segunda forma fundamental de f .

      2

      , e Demonstra¸c˜ ao. Sejam f : S

      1

      2

      → M uma imers˜ao e {e } em T Σ ortonormais, onde

      2

      Σ = f (S , e , N

      1

      2

      ). Completando esta base com o vetor normal unit´ario a T Σ, N , obtemos {e } em T M ortonormais. Utilizando a equa¸c˜ao de Gauss na segunda igualdade abaixo, segue que Ric

      )Y, e )Y, e

      1

      1

      2

      2

      (X, Y ) : = hR(X, e i + hR(X, e i , Y

      1

      1

      1

      1

      = h ¯ R(X, e )Y + hAX, Y iAe − hAe iAX, e i , Y

      2

      2

      2

      2

    • h ¯ R(X, e )Y + hAX, Y iAe − hAe iAX, e i

      )Y, e , e , Y

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      = h ¯ R(X, e i + hAX, Y ihAe i − hAe ihAX, e i , e , Y

      2 )Y, e

      2

      2

      2

      2

      2

    • h ¯ R(X, e i + hAX, Y ihAe i − hAe ihAX, e i Ric

      , e , e = ¯

      1

      1

      2

      2

      (X, Y ) − h ¯ R(X, N)Y, Ni + hAX, Y i(hAe i + hAe i)

      1

      

    1

      2

      2

      − (hAX, e ihAY, e i + hAX, e ihAY, e i) Ric

      = ¯ (X, Y ) − h ¯ R(X, N)Y, Ni + hAX, Y iH − hAX, AY i. Reescrevendo

      Ric (X, Y ) = ¯ Ric (X, Y ) − h ¯ R(X, N)Y, Ni + HhAX, Y i − hAX, AY i. Da´ı,

      R , e , e = Ric(e ) + Ric(e )

      1

      1

      2

      2

      = ¯ Ric (e , e , N )e , N , e , Ae

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      ) − h ¯ R(e i + HhAe i − hAe i Ric , e , N , N , e , Ae

    • ¯ (e )e

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ) − h ¯ R(e i + HhAe i − hAe i

      2

      = ¯ R Ric )N, e )N, e

      1

      1

      2

      2

      − ¯ (N, N ) − (h ¯ R(Ne, i + h ¯ R(N, e i) + H. H − T rA

      2

      2 R Ric Ric

      = ¯ (N, N ) + H − ¯ (N, N ) − ¯ − |A|

      2

      

    2

    = ¯ R Ric (N, N ) + H .

      − 2 ¯ − |A| Sabemos que a curvatura seccional ´e dada por hR(X, Y )X, Y i

      K .

      (X, Y ) = |X ∧ Y |

      Assim K , e , e , e , e , e

      = K(e

      1

      2

      1

    2 )e

      1

      2

      1 1 ) = Ric(e

      2 2 ),

      ) = hR(e i = Ric(e donde , e , e

      2K = R = Ric(e ) + Ric(e ),

      1

      1

      2

      2

      portanto R K = curvatura de Gauss.

      2 Dessa forma segue que

      2

      2 R Ric .

      = ¯

      2K − H − 2 ¯ (N, N ) − |A| Integrando, Z Z

      2 ∗ ∗

      2 R Ric dµ

      ( ¯ ) dµ f g = f g S S 2 − 2 ¯ (N, N ) − |A| Z 2

      2K − H

      2K dµ f g ≤ = 2 · 2π · 2 = 8π, S 2 na pen´ ultima igualdade foi usado o Teorema de Gauss-Bonnet.

      O pr´oximo resultado, devido Meeks-Yau em [14], nos garante a existˆencia de uma imers˜ao minimizante. O resultado ´e: Proposi¸c˜ ao 2.3 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana com π

      2 (M ) 6= 0. Ent˜ao existe

      2

      f , f g ∈ F suave tal que ´area(S ) = A(M, g). Al´em disso f ´e uma imers˜ao.

      Demonstra¸c˜ ao. Ver Teorema 7 em [14]. Demonstra¸c˜ ao do Teorema 2.1.

      2

      , f g Pela Proposi¸c˜ao acima, considere f ∈ F com ´area(S ) = A(M, g). Assim, como f minimiza ´area, a f´ormula da segunda varia¸c˜ao garante que Z Z ∗ ∗ ∗

      2 uLu dµ u u Ric u . f g (∆ f g + ¯ ) dµ f g 0 ≤ − = − (N, N )u + |A| S S 2 2 Rescrevendo, Z ∗ ∗

      2

      2

      2

      (u∆ f g u u + ¯ Ric (N, N )u ) dµ f g − + |A| ≥ 0, S 2 donde Z Z Z

      2

      2 ∗ ∗ ∗ ∗

      2 Ric dµ u u dµ dµ ,

      ( ¯ )u f g ∆ f g f g = f g S S S 2 (N, N ) + |A| ≤ − |∇u| 2 2

      2

      para cada fun¸c˜ao suave u : S → R.

      Tomando u = 1, vem que Z

      2

      Ric ( ¯ ) dµ f g S 2 (N, N ) + |A| ≤ 0. Assim, usando a Proposi¸c˜ao 2.2, obtemos Z Z

      2

      ¯ ¯ ¯ ∗ ∗ , f g R R R dµ

      ´area (S = 1dµ f g = inf f g ) · inf · inf M M M Z Z S S 2 2

      2

      ¯ R dµ ∗ R ∗ f g ( ¯ ) dµ f g

      ≤ ≤ + |A| Z Z S S 2 2

      2

      2 R ∗ Ric ∗

      = ( ¯ ) dµ f g ( ¯ ) dµ f g S S 2 Z + |A| − 2 (N, N ) + |A| 2

      2 Ric ∗

    • 2 ( ¯ ) dµ f g (2.1) Z S
    • 2 (N, N ) + |A|

        2 R Ric ∗

        = ( ¯ ) dµ f g S 2 Z − 2 ¯ (N, N ) − |A|

        2 Ric ∗

      • 2 ( ¯ ) dµ f g S
      • 2 Z (N, N ) + |A|

          2

          ¯ Ric dµ ∗ f g ≤ 8π + 2 (N, N ) + |A| ≤ 8π. S 2 Isto completa a prova do caso da desigualdade.

        2.2 Rigidez da Desigualdade Geom´ etrica

          Nesta se¸c˜ao trataremos da an´alise do que ocorre na igualdade do Teorema 2.1. Sendo assim, suponha que ¯ R = 8π. A(M, g) inf M

          ¯ M ´e invariante por reescalona- R A Proposi¸c˜ao 1.3 garante que a quantidade ´area(M, g) · inf mento. Assim, assuma que

          ¯ M = 2. R A(M, g) = 4π e inf

          A Proposi¸c˜ao 2.3 garante que existe f ∈ F imers˜ao suave tal que

          2

          ´area(S , f g ) = A(M, g) = 4π.

          2 Sob a hip´otese da igualdade do Teorema 2.1, provaremos que a imagem de S por f possui

          boas propriedades. O resultado ´e o seguinte:

          2

          2

          , f g Proposi¸c˜

          ) = 4π. Ent˜ao Σ = f (S ) ao 2.4 Seja f ∈ F uma imers˜ao suave tal que ´area(S

          

        ´e uma superf´ıcie totalmente geod´esica. Al´em disso ¯ R = 2 e ¯ Ric (N, N ) = 0 em cada ponto de

        Σ. R

          Demonstra¸c˜ ao. Inicialmente provaremos que se uLu dµ f g = 0, onde Lu = ∆u + S 2

          2 )u. Ent˜ao Lu = 0.

          (Ric(N, N ) + |A|

          De fato, a estabilidade nos garante que Z (u + tv) L(u + tv) dµ f g − ≥ 0, para t ∈ R e v fun¸c˜ao suave. S 2 Da´ı, usando a linearidade e simetria do operador L, obtemos que Z

          (u + tv) (Lu + tLv) dµ f g − ≥ 0, S 2 donde Z

          2

          uLu vLv dµ

        • utLv + tvLu + t f g Z Z Z S
        • 2 ≤ 0

            2

          • Identificando a = vLv dµ f g , b = 2 vLu dµ f g e c = uLu dµ f g , obtemos um po- S S S
          • 2 2 2 linˆomio na vari´avel t. Vemos que este ´e n˜ao positivo, donde seu discriminante tamb´em o ´e. Ent˜ao Z

              t vLv dµ vLu dµ uLu dµ f g + 2t f g f g ∗ ∗ ∗ R R R S S S 2 ∗ ∗ ∗ 2 2 ≤ 0.

            2 Z Z vLu dµ ∗ vLv dµ ∗ uLu dµ ∗ .

              2 f g f g f g R 0 ≥ − 4 · S S S 2 2 2 uLu dµ ∗ Como S 2 f g = 0, obtemos que Z

              2

              vLu dµ 2 f g R 0 ≥ ≥ 0, S 2 vLu dµ ∗ assim S 2 f g = 0, para todo v. Portanto Lu = 0.

              De posse desse resultado vamos desenvolver a demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao. Note que estamos assumindo que ¯ M = 2. R

              A(M, g) = 4π e inf Assim, as desigualdades em (2.1) se tornam igualdades. Em particular Z

              

            2

            R ∗

              ( ¯ ) dµ f g = 8π (2.2) S 2 + |A| e Z

              2

              ( ¯ Ric ) dµ f g = 0. (2.3) S 2 (N, N ) + |A| R Seja u = 1. Observe, por 2.3, que u satisfaz uLu = 0. Logo Lu = 0, donde S 2

              2

              0 = L1 = ∆1 + ( ¯ Ric (N, N ) + |A| ) · 1

              2 Ric .

              = 0 + ¯ (N, N ) + |A| Portanto

              2

              ¯ Ric = 0. (2.4)

              (N, N ) + |A| Agora por (2.2) Z Z Z

              2

              2

              ¯ ¯ ¯ R ∗ R dµ ∗ R dµ ∗ R , f g 8π = ( ¯ ) dµ f g f g inf f g = inf ) = 8π. S S S 2 + |A| ≥ ≥ · ´area(S 2 2 M M

              Da´ı,

              2

              ¯ ¯ R R R e = inf = 2. |A| = 0 ⇒ |A| = 0 = 2 ⇒ ¯ M

              Assim por (2.4) ¯

              Ric (N, N ) = 0, isto completa a prova.

              O pr´oximo resultado garante a existˆencia de uma folhea¸c˜ao local de M por superf´ıcies com curvatura m´edia constante.

              2

              , f g Proposi¸c˜

              ) = 4π. Ent˜ao existe ao 2.5 Seja f ∈ F uma imers˜ao suave tal que ´area(S

              2

              ǫ ∈ R, positivo e uma aplica¸c˜ao suave w : S × (−ǫ, ǫ) → R, tal que:

              2

              (a) Para cada x ∈ S e cada t ∈ (−ǫ, ǫ), Z w (x, 0) = 0, (w, 0) = 1 e f g = 0. 2 (w(x, t) − t) dµ

              ∂t S (b) Para cada t ∈ (−ǫ, ǫ), a superf´ıcie

              2

              Σ t = {exp f (x) (w(x, t) N (x)) : x ∈ S } tem curvatura m´edia constante.

              2 Demonstra¸c˜ ao. O operador de Jacobi associado a imers˜ao m´ınima f : S

              → M ´e dado por

              2 L = ∆ f g ,

            • Ric(N, N ) + |A| f g .

              donde pela Proposi¸c˜ao 2.4, temos Ric(N, N ) = 0 e |A| = 0, da´ı L = ∆ R

              2,λ

              2

              u dµ ∗ (S ); S 2 f g

              Fixe λ ∈ (0, 1) e considere os seguintes espa¸cos X = {u ∈ C = 0} e R

              0,λ

              2

              Y (S ); u dµ f g 2 = {u ∈ C S = 0} os quais s˜ao espa¸cos de Banach, como veremos abaixo.

              2,λ 2 0,λ

            2 Temos que C (S ) e C (S ) s˜ao espa¸cos de Banach (Ver Teorema 1, [9], p´agina 241),

              2

              basta olhar S ⊂ Ω aberto.

              2,λ

              2 Para ver que X ´e um espa¸co de Banach, observe que este ´e um subespa¸co de C (S ) e

              fechado pois ´e pr´e-imagem do zero pela fun¸c˜ao F abaixo

              2,λ

            2 F : C (S ) → R.

              Z u u dµ ∗ 7→ f g S 2

              

            1

            Note que F ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, ent˜ao F (0) = X ´e fechado. Tamb´em n˜ao ´e dif´ıcil de 2,λ

              

            2

              ver que X ´e um subespa¸co vetorial de C (S ), da´ı X ´e Banach. Analogamente se ver que

              2

              2 Y

              ´e Banach. Para cada u : S u f (x) → R seja Σ = {exp (u(x) N (x)); x ∈ S }, onde N(x) ´e o

              2 campo de vetores normais em Σ = f (S ).

              2

              > > Sejam δ 0 e δ 0 tais que Σ u

              1 2 +t f

              = {exp (x) ((u(x)+t) N (x)); x ∈ S } seja compacta de

              2,λ 2,λ

              2 2,λ

              , , δ < classe C

              2

              

            1

            1 ), onde B(0, δ 2 (S C

              para todo (u, t) ∈ B(0, δ ) × (−δ ) = {u ∈ C ); ||u|| δ u por H .

              2

            • t Σ u +t

              }. Denotaremos a curvatura m´edia de Σ , δ

              Agora considere ϕ : B(0, δ

              2

              1

              1

              ) × (−δ ) → Y dada por Z

              1 ϕ (u, t) = H H dµ f g .

              Σ u Σ u +t − +t 2

              4π S Note que ϕ(0, 0) = 0, j´a que Σ = Σ. Calculando Dϕ(0, 0) · v, para v ∈ X, temos dϕ

              Dϕ s

              =0

              (0, 0) · v = (0, sv)| ds Z d 1

              = H H dµ f g

              Σ sv Σ sv

              − 2 ds S 4π s

            Z

            =0

              1 Lv dµ f g

              = −Lv + 2 4π S Z

              1

              v v dµ ∗ ∗ ∗ = −∆ 2 f g v. 4π S = −∆

            • f g ∆ f g f g

              Como ∆ f g : X → Y ´e um isomorfismo linear, pelo Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita, vem que existem 0 < ǫ < δ

              1

              2

              e u(t) = u(·, t) ∈ B(0, δ ) para t ∈ (−ǫ, ǫ) tal que u (0) = 0 e ϕ(u(t), t) = 0, para todo t ∈ (−ǫ, ǫ).

              2 Assim, definindo w(x, t) = u(x, t) + t, para (x, t) ∈ S × (−ǫ, ǫ), temos que toda superf´ıcie

              2

              Σ t f Σ t = cte, pois pela defini¸c˜ao da ϕ, temos = {exp (x) (w(x, t) N (x)); x ∈ S } tem H Z

              1 H dµ . 0 = ϕ(0, t) = H Σ t Σ t f g

              − 2 R 4π S Observe que w(x, 0) = u(x, 0) = 0 e S 2 f g R (w(·, t) − t) dµ = 0, uma vez que w(·, t) − t =

              2,λ

              2

              u u dµ ∗ (S ); 2 f g

              2 (·, t) ∈ B(0, δ ) = {u ∈ C S = 0}. Agora veremos que ∂w

              2 .

              (x, 0) = 1, para todo x ∈ S ∂t

              Note que Z

              1 0 = ϕ(u(t), t) = H H dµ f g , (2.5)

              Σ w Σ w (·,t) (·,t)2

              4π S , δ ).

              1

              1

              para cada t ∈ (−δ

              2 Defina f (x, t) := exp . Da´ı f (x) (w(x, t) N (x)), para x ∈ S

              ∂f ∂w

              2 (x, 0) = .

              (x, 0) N (x), para x ∈ S ∂t ∂t

              , Derivando (2.5) em t = 0 e usando que L = ∆ f g temos Z

              ∂w 1 ∂w ∂w

            • f g ∆ f g dµ f g f g . ∗ ∗ ∗ ∗ 0 = −∆ (·, 0) (·, 0) = −∆ (·, 0)
            • 2 ∂w ∂t 4π S ∂t ∂t Portanto ∂t (·, 0) = cte. R

                Finalmente diferenciando f g = 0 em t = 0, obtemos S (w(·, t) − t) dµ 2 Z ∂w f g = 4π. ∂w S 2 ∂t (·, 0) dµ

                2 .

                Assim, concluirmos que ∂t (x, 0) = 1 para todo x ∈ S Defina

                2

                f t : S → M x t (x) = exp (w(x, t)N (x)), f

                7→ f (x)

                2

                . Denotaremos por N t para cada t ∈ (−ǫ, ǫ). Note que f (x) = f (x), para todo x ∈ S (x) ∈

                2 T f M o vetor normal unit´ario a superf´ıcie Σ t = f t (S ) no ponto f t (x). Assumiremos que t (x)

                2 N t depende suavemente de x e t, e N . Al´em disso, II t denota

                (x) = N (x) para todo x ∈ S a segunda forma fundamental de f t . O pr´oximo resultado garante que varia¸c˜oes perto da f , s˜ao est´aveis.

                2 Lema 2.1 Existe um n´ R umero real positivo δ < ǫ, tal que se t ∈ (−δ, δ) e u : S → R uma fun¸c˜ao suave, onde u dµ f g = 0, ent˜ao Z Z S t 2 f g

                2 ∗ dµ Ric , N dµ ∗ f g ( ¯ (N t t t )u f g

                2

                2 S S 2 |∇u| t − ) + |A | ≥ 0. t 2 Demonstra¸c˜ ao. Podemos encontrar uma constante uniforme C > 0 tal que Z Z f g t t

                2 ∗ dµ u dµ , f g f g (2.6) ∗ ∗

                2 S S 2 |∇u| ≥ C t 2 R 2 S 2 f g = 0. u dµ para cada t ∈ (−ǫ, ǫ) e cada cada fun¸c˜ao suave u : S → R satisfazendo t

                Pela Proposi¸c˜ao 2.4 resulta que

                2 Ric , N

                sup ( ¯ (N t t t S 2 ) + |A | ) → 0 quando t → 0. Da´ı e por (2.6) segue o resultado.

                Lema 2.2 Para cada t ∈ (−ǫ, ǫ), temos Z

                2

                ( ¯ Ric (N t , N t t ) dµ f g S 2 ) + |A | t ≥ 0.

                Demonstra¸c˜ ao. Como f minimiza ´area em sua classe de homotopia, temos que ∗ ∗

                2

                2

                , f g , f g ´area(S ) = 4π. t ) ≥ ´area(S

                2

                ¯ Al´em disso, temos que inf M R = 2. Aplicando a Proposi¸c˜ao 2.2 a f t : S ∗ ∗ Z → M, vem que

                2

                2

                ¯ ¯ ¯ , f g R , f g R R

                8π = ´area(S ) inf ) inf = 1 dµ f g t Z Z Z M M M ≤ ´area(S t · inf S 2

                2

                ¯ ¯ ¯ ∗ ∗ ∗ R dµ R dµ R dµ

                = inf f g f g t f g Z Z Z S S S 2 M t ≤ t ≤ + |A | t 2 2

                2

                2

                2

                ¯ ∗ ∗ ∗ R dµ Ric , N Ric , N

                = t f g ( ¯ (N t t t ) dµ f g + 2 ( ¯ (N t t t ) dµ f g Z Z S S S 2 + |A | t − 2 ) + |A | t ) + |A | t 2 2

                2 ∗ ∗

                2 R Ric , N Ric , N

                = ( ¯ (N t t t ) dµ f g + 2 ( ¯ (N t t t ) dµ f g S S 2 − 2 ¯ ) − |A | t ) + |A | t Z 2

                2 Ric , N .

                ( ¯ (N t t t ) dµ f g ≤ 8π + 2 ) + |A | t S 2 Portanto Z

                2

                ¯ Ric (N t , N t t dµ f g S 2 ) + |A | t ≥ 0. t tem curvatura m´edia constante H t .

                Sabemos que para cada t ∈ (−ǫ, ǫ) a superf´ıcie Σ Como o vetor curvatura m´edia ~ H t ´e normal a superf´ıcie Σ t e como existe apenas uma dire¸c˜ao

                H H N H , N normal, vem que ~ t ´e paralelo a N t . Assim podemos escrever ~ t = H t t t t

                , donde h ~ i = H t , isto nos garante que fazendo t variar temos uma fun¸c˜ao suave H(t). Portanto podemos

                H escrever ~ t t , onde H(t) ´e uma fun¸c˜ao suave em t.

                = −H(t) N Para cada t ∈ (−ǫ, ǫ), defina a fun¸c˜ao

                2

                ρ t : S → R.

                ∂ x t t (x), f t (2.7) 7→ ρ (x) := hN (x)i

                ∂t

              2 Claramente, ρ . Pela continuidade, podemos encontrar um n´ umero

                (x) = 1 para todo x ∈ S

                2

                real positivo λ < δ tal que ρ t (x) > 0 para todo x ∈ S e todo t ∈ (−λ, λ). A fun¸c˜ao

                2

                ρ t : S → R satisfaz a equa¸c˜ao de Jacobi

                2

                ρ Ric , N ∆ f g t + ( ¯ (N t t t )ρ t (t). (2.8) t ) + |A | = −H

              2 Proposi¸c˜ ao 2.6 Temos que ´area(S , f g t ) = 4π para todo t ∈ (−λ, λ).

                2

                ρ Demonstra¸c˜ ao. Denotaremos por ¯ t o valor m´edio da fun¸c˜ao ρ t : S

                → R com respeito a m´etrica f g que ´e dado por t Z

                1 ρ ¯ = ρ dµ . t t f g ∗ t

                2 2

                , f g ´area(S ) S t

                ρ Aplicando o Lema (2.1) na fun¸c˜ao ρ t t , obtemos Z Z − ¯

                2

                2

                2 t t f g ( ¯ (N t t t ) (ρ t t ) f g ρ ∗ dµ Ric , N ρ dµ f g S S 2 |∇(ρ − ¯ )| t − ) + |A | − ¯ t ≥ 0 Z Z t 2 t f g ( ¯ (N t t t ) (ρ t t ) f g (2.9) f g

                2 ∗ dµ Ric , N ρ dµ

                2

                2 S S 2 |∇ρ | t − ) + |A | − ¯ t ≥ 0, t 2 para todo t ∈ (−δ, δ). Al´em disso o Lema (2.2) implica que Z

                2

                2

                ρ Ric , N ¯ ( ¯ (N t t t ) dµ f g (2.10) t S 2 ) + |A | t ≥ 0, para todo t ∈ (−ǫ, ǫ).

                Somando os dois membros de (2.9) e (2.10), temos Z Z

                2

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