Cap´ıtulo 5 La Transformada de Laplace

  Cap´ıtulo 5 La Transformada de Laplace

  La principal ventaja de la transformada de Laplace sobre la transformada de Fourier radica en que la primera es aplicable a un mayor n´ umero de funciones. Como veremos, fundamentalmente se usa para resolver problemas de valores iniciales relativos a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

5.1. Definici´ on y dominio de convergencia

  En todo lo que sigue, supondremos que f : [0, +∞) → R es una funci´on integrable Riemann en cada intervalo finito (a, b) ⊂ (0, +∞). Si f es una tal funci´on, se define su transformada (de Laplace) F (p) por Z

  • +∞

    −pt

  F (p) = e f (t)dt, El dominio de F (p) est´a formado por todos los p ∈ R para los que la integral es convergente (la integral tambi´en puede ser impropia en el origen).

  El dominio natural para el estudio de la Transformada de Laplace es el campo complejo, pero, por simplicidad, desarrollaremos el tema suponiendo que p es real. Ejemplo 5.1.1.

  Si f (t) ≡ 1, entonces Z Z

  b

  • ∞ −pt −pt

  F (p) = e dt = l´ım e dt =

  b→+∞ h i t=b −pt

  e = l´ım =

  

b→+∞ t=0

  −p

  −pb

  1 µ 1 − e = l´ım = .

  b→+∞

  p p En este caso el dominio de la transformada es (0, +∞). Sobre el dominio de convergencia se tiene el siguiente resultado R

  • ∞ t

    −p

  

Teorema 5.1.2. Si la integral e f (t)dt converge absolutamente, en-

tonces Z

  • −pt

  e f (t)dt .

  tambi´en converge absolutamente para cada p ≥ p

  DEMOSTRACI ´ , tenemos ON: Para cada t ≥ 0 y p ≥ p

  t (p t −pt −p −p)t −p

  , |f(t) · e | = |f(t) · e · e | ≤ |f(t)| · e

  (p −p)t

  dado que e ≤ 1. Por tanto, el criterio de mayoraci´on nos permite asegu- R

  • ∞ −pt

  rar que la integral e . f (t)dt converge absolutamente para cada p ≥ p

  ¤ El Teorema precedente motiva la siguiente definici´on: Z

  • ∞ −pt

  e r(f ) = ´ınf{p : |f(t)|dt converge}. Pueden presentarse los tres casos siguientes: a) r(f ) es finito. Si este es el caso, para cada p > r(f ) converge absoluta- R

  • ∞ −pt mente la integral e f (t)dt.
  • R<
  • −pt

  e f (t)dt converge absolutamente para

  b) r(f ) = −∞. La integral cada p ∈ R.

  c) r(f ) = +∞. En este caso la integral nunca converge absolutamente. Para tales funciones no tiene inter´es la transformada de Laplace.

  Vemos que, en general, hay convergencia absoluta en una semirrecta de ecuaci´on p &gt; r(f ) que, por esta raz´on, se denomina semirrecta de conver- gencia de la transformada de f .

  Vamos a estudiar ahora una clase suficientemente general de funciones para las que no se da la situaci´on desagradable c). Es decir, para las que la semirrecta de convergencia no se reduce al vac´ıo. Una funci´on f : [0, +∞) → R se dice que es de orden exponencial γ si existen constantes M y t , tales que

  γt .

  |f(t)| ≤ M · e , para todo t ≥ t

  Teorema 5.1.3. Si f es una funci´on de orden exponencial γ, entonces Z

  • −pt

  e f (t)dt converge absolutamente para p &gt; γ.

  DEMOSTRACI ´ y p &gt; γ, tenemos ON: Para cada t ≥ t

  

−pt −pt (γ−p)t

. R |e f (t)| = |f(t)| · e ≤ M · e

  • ∞ (γ−p)t

  Como la integral e dt es obviamente convergente, sigue del teorema R

  • ∞ −pt

  de mayoraci´on que la integral e f (t)dt converge absolutamente. Ahora

  t

  basta usar la aditividad de la integral impropia para deducir la convergencia R

  • ∞ −pt absoluta de e f (t)dt.

  ¤ En todo lo que sigue, s´olo se consideran funciones de orden exponencial.

5.2. Propiedades elementales Las siguientes propiedades ser´an de gran utilidad en la pr´actica.

  at

  1) Primera propiedad de traslaci´on. Si g(t) = e · f(t), entonces su trans- formada viene dada por G(p) = F (p − a), para cada a ∈ R. En efecto, por definici´on, se tiene Z

  • ∞ at −pt
  • Z G(p) = e e f (t
  • ∞ −t(p−a)

  = e f (t)dt = F (p − a). La semirrecta de convergencia de G(p) viene dada por p − a &gt; r(f).

  2) Segunda propiedad de traslaci´on. Si a ≥ 0 y g es la funci´on definida por ( f (t − a) si t ≥ a g(t) = si t &lt; a,

  −ap

  entonces G(p) = e F (p). Recurriendo de nuevo a la definici´on, obtenemos Z Z

  • ∞ +∞ −pt −pt

  G(p) = e g(t)dt = e f (t − a)dt.

  a

  Haciendo el cambio de variable u = t − a, resulta Z

  • ∞ −p(u+a)

  G(p) = e f (u)du = Z

  • ∞ −pa −pu −pa = e e f (u)du = e F (p).

  1 p

  3) Cambio de escala. Si g(t) = f (at), entonces G(p) = F ( ), siendo

  a a

  a &gt; 0. En efecto, haciendo el cambio de variables u = at, resulta Z

  • ∞ −pt

  G(p) = e f (at)dt = Z

  • u

  1 1 p

  −p a

  = e f (u)du = F ( ), a a a v´alido para p &gt; a · r(f).

  4) Transformada de una funci´on peri´odica. Sea f una funci´on peri´odica de periodo T . Para cada p &gt; r(f ), tenemos por definici´on que Z

  b −pt

  F (p) = l´ım e f (t)dt,

  b→+∞

  Luego, en particular, se verifica Z n

  −pt F (p) = l´ım e f (t)dt. n→+∞

  Por la aditividad de la integral, resulta

  ∞ Z X (n+1)T −pt

  F (p) = e f (t)dt. (5.1)

  nT n=0

  Teniendo en cuenta que f (u + nT ) = f (u) y haciendo el cambio de variable R (n+1)T

  −pt

  t = u+nT , podemos convertir cada integral e f (t)dt en una integral

  nT

  sobre el intervalo [0, T ]: Z Z Z

  (n+1)T T T

−pt −p(u+nT ) −pnT −pu

  e f (t)dt = e f (u + nT )du = e e f (u)du.

  nT

  Si sustituimos la expresi´on obtenida en ( Ã ! Z 5.1 ), queda finalmente X ∞ T −pnT −pu F (p) = e e f (u)du = µ n=0

¶ Z T

  1

  −pu = e f (u)du. −pT

  1 − e

5.3. La funci´ on escal´ on unidad de Heaviside

  on unidad Se llama funci´on escal´ (o funci´on de Heaviside) a la definida por ( 0 si t &lt; 0 u(t) = 1 si t ≥ 0

  1 En el ejemplo inicial hemos obtenido su transformada U (p) = (para p &gt; 0). p

  Una funci´on escal´on unidad con el salto en t se puede expresar en la forma ). La transformada de esta funci´on se puede determinar aplicando la u(t − t segunda propiedad de traslaci´on;

  p −t

  e

  p

−t

  L ))(p) = e .

  (u(t − t · U(p) = p ) es muy ´ util cuando se trabaja con funciones escalon-

  La funci´on u(t − t adas, pues ´estas se pueden expresar como combinaciones adecuadas de aqu´el- las.

  Ejemplos 5.3.1.

  1. La funci´on escalonada definida por ( 1 si t ∈ [0, 2) f (t) = 0 en el resto, se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside en la forma f (t) = −2p

  1 e .

  u(t) − u(t − 2) y su transformada ser´ıa F (p) = −

  p p

  2. Consideremos la funci´on 1 si t ∈ [0, 2) f (t) = 2 si t ∈ [2, 4) 0 en el resto En t´erminos de la funci´on escal´on unidad, adopta la forma f (t) = u(t) − u(t − 2) + 2[u(t − 2) − u(t − 4)] = u(t) + u(t − 2) − 2u(t − 4). −2p −4p

  1 e e Para su transformada se obtiene f´acilmente F (p) = .

  • p p p

  − 2

5.4. Transformada de la derivada

  Supongamos que f es una funci´on derivable para t &gt; 0 y de orden ex- ponencial. Si F (p) denota, como es usual, la transformada de Laplace de f entonces la transformada de su derivada viene dada por

  ′

  L (f

  (5.2) )(p) = pF (p) − f(0). En efecto, por ser f de orden exponencial, existen constantes positivas M, γ

  γt

  y t . Sigue que, para p &gt; γ, se verifica , tales que |f(t)| ≤ M · e para t ≥ t

  −pb

  l´ım f (b)e = 0, pues:

  b→+∞ (γ−p)b −pb

  , |f(b)|e ≤ M · e

  . Ahora, aplicando la f´ormula de integraci´on por partes en para cada b ≥ t R

  b −pt

  la integral parcial e f (t)dt, resulta Z ¸ t=b Z

  b b −pt

  · e

  1

  e f (t)dt = f (t) e f (t)dt = p −p

  • −pt −pt ′

  t=0 Z b −pb

  f (0) e

  1

  −pt ′ + = e f (t)dt.

  − f(b) p p p Si p &gt; γ, existe el l´ımite y es finito, cuando b → +∞, del miembro m´as R a la izquierda en la cadena de igualdades anterior, lo que nos asegura que

  • ∞ −pt ′

  e f (t)dt es convergente y nos permite obtener f (0)

  1

  ′

  • L F (p) = (f )(p). R

  p p

  • ∞ −pt

  Si la integral e f (t)dt es impropia en cero, la demostraci´on es ligera- mente diferente y se obtiene la relaci´on

  ′

  L (f

  )(p) = pF (p) − f(0+), pero, por simplicidad, normalmente consideraremos s´olo el caso en que la integral es impropia de primera especie.

  Por aplicaci´on reiterada de (

  5.2 ), puede obtenerse la siguiente expresi´on

  para la transformada de la derivada n-´esima:

  n)

  L (f )(p) =

  n n−1 n−2 ′ n−1)

  = p f (0), F (p) − p f (0) − p (0) − · · · − f v´alida para una funci´on f que sea n veces derivable en (0, +∞) y con las n − 1 primeras derivadas de orden exponencial.

  

5.5. Transformada del Producto de Convolu-

ci´ on

  Con ocasi´on del estudio de la transformada de Fourier, vimos que Z µZ µZ ¶ ¶

  ∞ ∞ ∞

  u(t) dt v(t) dt , (u ∗ v)(x) dx = ·

  −∞ −∞ −∞

  donde u y v son absolutamente integrables en (−∞, +∞). Si f y g son R R funciones reales definidas en [0, +∞) y tomamos p de modo que las integrales

  • ∞ +∞ −pt −pt

  e f (t)dt e e g(t)dt son absolutamente convergentes, podemos definir f (t) = g(t) = 0 para cada t &lt; 0 y aplicar la igualdad anterior a las

  −pt −pt

  funciones u(t) = e f (t) y v(t) = e g(t), obteniendo Z ¶ ¶ µZ µZ

  ∞ ∞ ∞ −pt −pt

  e f (t)dt e g(t)dt = (u ∗ v)(x)dx = ·

  −∞ −∞ −∞

  (5.3) = L(f )(p) · L(g)(p)

  −pt

  Finalmente, vamos a probar que (u ∗ v)(t) = e (f ∗ g)(t). En efecto, si escogemos t de forma que el producto de convoluci´on (u∗v)(t) es convergente, tenemos Z Z t

  ∞

  (u ∗ v)(t) = u(s)v(t − s)ds = u(s)v(t − s)ds,

  −∞

  por ser f (t) = g(t) = 0 para t &lt; 0. Sustituyendo ahora las correspondientes expresiones de u y v en t´erminos de f y g, resulta Z Z

  t t −ps −p(t−s) −pt

  e f (s)e (u ∗ v)(t) = g(t − s)ds = e f (s)g(t − s)ds =

  −pt

  = e (5.4) (f ∗ g)(t). (

  5.3 ) y ( 5.4 ) conducen, por tanto, a la siguiente igualdad

  L (f ∗ g)(p) = L(f)(p) · L(g)(p), que nos dice que la transformada del producto de convoluci´on de f y g es igual al producto de las transformadas de f y g.

  Conviene resaltar el hecho (usado en la prueba anterior) de que el pro- ducto de convoluci´on de f y g se reduce a Z

  

x

  (f ∗ g)(x) = f (t)g(x − t)dt, cuando f y g son nulas para x &lt; 0.

5.6. Inversi´ on de la Transformada

  Haciendo uso del Teorema de la integral de Fourier puede obtenerse una f´ormula de inversi´on para la transformada de Laplace.

  Teorema 5.6.1.

  Sea f : [0, +∞) → R una funci´on tal que ella y su derivada

  f tienen s´olo un n´ umero finito de discontinuidades de salto finito y sea α &gt; 0 R

  • ∞ −pt

  

tal que F (p) = e f (t)dt converge absolutamente para p &gt; α. En estas

condiciones se verifica Z T

  1 f (t+) + f (t−) (a+iv)t = l´ım e F (a + iv)dv, 2 2π T →+∞

  −T cualquiera que sea a &gt; α.

  −at

  En efecto, consideremos la funci´on auxiliar g(t) = e f (t) si t ≥ 0 y que es nula para t &lt; 0. Si aplicamos a g el Teorema de la integral de Fourier, resulta Z

  T

  1 g(t+) + g(t−) ivt F = l´ım e (g)v)dv. 2 2π T →+∞

  −T −at

  Ahora podemos cambiar g(t) por e f (t) y, recordando que g(t) = 0 para t &lt; 0, obtenemos Z µZ

  T

  1 f (t+) + f (t−) at ivt

  −iuv −au

  = l´ım e e e f (u)du dv =

  T →+∞ −T

  Z T µZ

  1

  (a+iv)t −u(a+iv)

  = l´ım e e f (u)du dv.

  T →+∞

  2π

  −T

  N´otese que la ´ ultima integral representa la transformada de Laplace de f en el punto a + iv.

  Si t es un punto de continuidad de f , entonces el Teorema nos permite reconstruir el valor f (t), supuesto que se conocen los valores que toma su transformada sobre una recta x = a, mediante la expresi´on Z

  T

  1

  (a+iv)t

  f (t) = l´ım e F (a + iv)dv,

  T →+∞

  2π

  −T siendo a cualquiera con tal de que a &gt; α.

  Al igual que en el caso de la transformada de Fourier, el problema que nos encontramos usualmente en las aplicaciones es el de, conocida la transformada F (p), determinar la funci´on original f (t). Desgraciadamente, la transformada de Laplace no es un´ıvoca (dos funciones distintas pueden tener la misma transformada). No obstante, el Teorema precedente prueba que s´olo existe una funci´on continua en [0, +∞) que tenga por tansformada una funci´on dada F (p). Esto ser´a suficiente en la mayor´ıa de las aplicaciones, pues usualmente manipularemos funciones que son incluso derivables con continuidad.

5.7. Aplicaciones de la Transformada de Laplace

  En general, en las aplicaciones no se necesita determinar la soluci´on gen- eral de una ecuaci´on diferencial sino encontrar la soluci´on que verifica deter- minadas condiciones iniciales (o de frontera). Para resolver un problema de valores iniciales con los m´etodos desarrollados en el cap´ıtulo primero nece- sitar´ıamos determinar primero la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y despu´es eliminar las constantes arbitrarias haciendo que dicha soluci´on general verifique las condiciones iniciales correspondientes. En esta secci´on veremos que, por el contrario, el m´etodo de la transformada de Laplace con- duce directamente a la soluci´on del problema de valor inicial. Otra ventaja digna de destacarse es la de que puede aplicarse este m´etodo a ecuaciones que contienen funciones con discontinuidades.

  Por las razones que se ponen de manifiesto a continuaci´on, el m´etodo de la transformada de Laplace s´olo es aplicable a ecuaciones diferenciales (o sistemas) lineales, tanto ordinarias como en derivadas parciales.

  Para que sirva como bot´on de muestra, consideramos el problema de valor inicial siguiente: (

  ′′ ′

  a y + a y + a y = f (t)

  2

  1 ′

  y (0) = a, y(0) = b, donde los coeficientes a i son constantes. Si aplicamos la transformada de Laplace en ambos miembros y usamos las expresiones obtenidas con anteri-

  

′′ ′

  oridad para las transformadas de y e y , resulta

  2 ′

  ¡p ¢ + a a

  2 (0) 1 Y (p) = F (p).

  Y (p) − py(0) − y (pY (p) − y(0)) + a Ahora incorporando las condiciones iniciales y reordenando los t´erminos, obtenemos

  2

  ¡a ¢ Y (p) = F (p) + a

  2 p + a 1 p + a 2 (bp + a) + a

  1 b.

  En la igualdad anterior puede despejarse siempre Y (p) (la transformada de y(t)) que tiene la forma F (p) + a (bp + a) + a b

  

2

  1 Y (p) = .

  

2

  a p + a p + a

  2

  1 La funci´on que buscamos, y(t), es dos veces derivable y, por tanto, contin- −1

  ua. Entonces tiene sentido escribir y = L Y pues, como hemos dicho al estudiar la inversi´on de la transformada, s´olo hay una funci´on continua cuya transformada sea Y (p). Para encontrar y(t), se descompone en suma de frac- ciones simples la expresi´on obtenida para Y (p) y se hace uso de una tabla de transformadas.

  Terminamos esta secci´on desarrollando algunos ejemplos. Ejemplos 5.7.1.

  1. Una masa de 9 Kg est´a atada (ver figura) a un resorte cuya constante el´astica es k. En el instante inicial (t = 0) se aparta de su posici´on de equilibrio x m y se suelta sin velocidad inicial. Encontrar la posici´on x(t) de la masa para t &gt; 0 (se desprecia el rozamiento).

  m k

  X O Se escoge como origen de coordenadas el punto donde est´a la masa cuando

el resorte est´a en equilibrio, y se denota la posici´on de la masa en el instante

  t por x(t). Sobre la masa s´olo act´

  ua la fuerza el´astica del resorte −kx, luego la segunda ley de Newton nos permite escribir

  9¨ x = −kx,

  

con las condiciones iniciales x(0) = x y ˙x(0) = 0. Aplicando la transformada

de Laplacea a ambos miembros de la ecuaci´on de movimiento, resulta

  2

  9(p X(p) − px(0) − ˙x(0)) = −kX(p).

  

Incorporando las condiciones iniciales y reagrupando t´erminos, obtenemos

à !

  9px p X(p) = = x .

  2 k

  9p + k p

  • 2
p Si consultamos la tabla de transformadas, vemos que k es la trans- 2 q

  • p
  • 9 √ k k

    formada de cos( )t. Luego X(p) = L(x cos( )t), de donde obtenemos

      9

      3 √ k x(t) = x cos( )t.

      3

      2. Consideramos nuevamente el sistema resorte-masa del ejercicio anteri- or, pero ahora suponemos que existe una fuerza amortiguadora constante de

      2 N. Calcular x(t) para cada t &gt; 0.

      En este caso, la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre la masa es −kx+2. Por tanto, la ecuaci´on de movimiento viene dada por 9·¨x = −kx+2. Tomando transformada de Laplace en ambos miembros, se obtiene

      2

      2 9(p .

      X(p) − px ) = −kX(p) + p

      Despejando X(p), resulta

      2 x p + X(p) = .

      2 k

      2

      p(9p + k) p +

      9 Ahora descomponemos en suma de fracciones simples el primer sumando del segundo miembro y obtenemos

      2 2p p

      2 2 p X(p) = + x = + (x ) . − −

      k k k

      2

      

    2

      2

      kp kp k k(p ) p p +

      9

      9

      9 Usando la tabla de transformadas, encontramos

      √

      2 2 k L

      X(p) = (1) + (x )L(cos( )t), − k k

      3

      de donde sigue que

      √

      2 2 k x(t) = + (x ) cos( )t.

      − k k

      3 3) Resolver el siguiente problema de contorno 2

      ∂u ∂ u 2 t, x &gt; 0  ∂t ∂x = k ·  u(0, t) = B u(x, 0) = A existe y es finito l´ım

      Vamos a usar la transformada de Laplace con respecto a t. Si denotamos

    la transformada de Laplace de u(x, t) (para cada x) por U (x, p), aplicando la

    transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on del calor resulta:

      2

      ∂ U , (5.5)

      U − A = k ·

      2

      ∂x

      donde se ha tenido en cuenta la condici´on inicial u(x, 0) = A. Se trata

    de una ecuaci´ on lineal de segundo orden (para cada valor de x). La soluci´on

    de la ecuaci´on homog´enea

      2

      ∂ U k · − pU = 0

      2

      ∂x

      tiene la forma

      √ p √ p

      ( )x )x k k −(

      U (x, p) = c

      

    1 e + c

    2 e , donde c 1 y c 2 no dependen de x, pero s´ı pueden depender de p. Se comprue-

      A

    ba f´acilmente que U (x, p) = es una soluci´on particular de la ecuaci´on

    p completa; por tanto, la soluci´on general de ( 5.5 ) viene dada por

      √ p √ p A

      ( )x )x k k −(

      U (x, p) = + c e + c e . (5.6)

      1

      2

      p

      

    La condici´on de que l´ım u(x, t) existe y es finito para cada t &gt; 0 con-

    x→∞

    duce, sin m´as que conmutar la integral con el l´ımite en la definici´on de la

    transformada de Laplace, a que U (x, p) verifique la condici´on an´aloga: existe y es finito l´ım U (x, p) (∀p &gt; 0).

    x→∞

      Para que ( 5.6 ) satisfaga esta limitaci´on debe ser c = 0. Para determinar c ,

      1

      2

    usaremos la condici´on de contorno u(0, t) = B. Si tomamos la transformada

      B

    de Laplace en esta igualdad, resulta U (0, p) = , por lo que la soluci´on final

    p de la ecuaci´on ( 5.5 ) viene dada por

    ³ ´

      √ p √ p A B

      ( )x ( )x U (x, p) = . k k 1 − e · e

    • p p

      

    Ahora vamos a usar la tablas para encontrar la transformada inversa. Recorde-

    mos que e (t) es la funci´on de error complementaria que viene dada por c

    Z

    2

      2

      −s e (t) = e ds. c

      √ π

      t En las tablas encontramos la igualdad

      h

      1

      √p −2h

      L (e ( ))(p) = e p, h &gt; 0,

      c

      √ p t

      x √ que, en nuestro caso, aplicamos con h = para obtener

      2 k

      x ( ) + A.

      c

      u(x, t) = (B − A)e √ 2 kt

      

    F´acilmente se comprueba que u(x, t) verifica todas las condiciones del prob-

    lema de contorno planteado.

    5.8. La funci´ on delta de Dirac

      La funci´on impulso instant´ aneo o delta de Dirac no es en reali- dad una funci´on. Es habitual decir que se trata de una funci´on generalizada definida por ( si t 6= 0

      δ(t) = ∞ si t = 0

      Para entender mejor su significado, vamos a recurrir a la siguiente aplicaci´on a la mec´anica.

      Empezamos recordando el concepto de impulso en mec´anica. Si una fuerza F (t) act´ ua sobre un cuerpo de masa m entre los instantes t y t ,

      1

      2

      se llama impulso ocasionado por F entre dichos instantes a la cantidad Z t 2 I = F (t) dt.

      t 1

      (t), de donde Pero, por la segunda ley de Newton, F (t) = m · a(t) = m · v resulta Z t 2 Z t 2

      ′

      I = F (t) dt = m v (t) dt =

      t 1 t 1

      )).

      

    1

      2

      = m · (v(t ) − v(t Por tanto, el impulso I representa la variaci´on de la cantidad de movimiento. Supongamos ahora que una fuerza muy grande act´ ua en un intervalo peque˜ no. Si empleamos la funci´on de Heaviside, podemos escribir ( 0 si t / u(t) − u(t − ǫ) ∈ (0, ǫ)

      F = =

      1

      ǫ sit ∈ (0, ǫ)

      ǫ

      Si calculamos el impulso ocasionado por esta fuerza, obtenemos Z ǫ Z ǫ u(t) − u(t − ǫ) I = F dt = dt = Z ǫ

      ǫ

      dt = = 1.

      ǫ Vemos, pues, que una tal fuerza produce el impulso unidad o, lo que es lo mismo, provoca que la cantidad de movimiento var´ıe en una unidad. Por tanto, si deseamos provocar un impulso igual a p con una fuerza de este tipo, deberemos tomar

      µ u(t) − u(t − ǫ) F = p .

      ǫ Con estas ideas en mente, nos enfrentamos ahora al problema de considerar una fuerza que act´ ua instant´aneamente y, por ello, nada mejor que plantear un problema apropiado:

      

    Una masa puntual de m g cae libremente. A la vez que ponemos en marcha

    un cron´ometro, se da un martillazo (vertical y hacia arriba) a la masa que

    produce un impulso unitario. Encontrar la posici´on de la part´ıcula para cada

    instante t &gt; 0, sabiendo que en el momento en que damos el martillazo la

    velocidad de la masa esra de v m.

      En este problema la dificultad radica en que no sabemos expresar matem´ati- camente la fuerza instant´anea que supone el martillazo, pero podemos ayu- darnos de las ideas anteriores. Seg´ un acabamos de ver, la funci´on u(t) − u(t − ǫ)

      ǫ

      1

      puede interpretarse como una fuerza muy grande ( ) que act´ ua durante un

      ǫ

      intervalo de tiempo muy peque˜ no ((0, ǫ)) y produce un impulso unidad. Si vamos haciendo ǫ cada vez m´as peque˜ no, la fuerza anterior se va pareciendo m´as y m´as al concepto que queremos atrapar.

      Parece, pues, razonable expresar la fuerza instant´anea que se corresponde con el martillazo en la forma u(t) − u(t − ǫ) l´ım

      ǫ→0

      ǫ que se denotar´a por δ(t). Si la usamos, s´olo a nivel formal, para resolver el problema anterior, proceder´ıamos como sigue. Colocamos el origen de coor- denadas en el punto de partida y el eje OX positivo hacia abajo. Para t &gt; 0, hay dos fuerzas actuando sobre la masa, a saber: el peso y la fuerza instan- t´anea δ(t) que induce el martillazo . De nuevo aplicamos la segunda ley de Newton y obtenemos m · a(t) = m · g − δ(t), o en t´erminos de x(t)

      2

      d x m · = m · g − δ(t),

      2

      dt

      ′

      junto con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x (0) = 0. Para resolver este problema por el m´etodo de la transformada de Laplace, s´olo se necesita saber determinar la transformada de la funci´on δ(t). La definici´on precisa de δ(t), as´ı como una determinaci´on rigurosa de su transformada, caen bastante lejos de los objetivos de este libro. Por ello, nos vamos a limitar a dar una justifi- caci´on de la igualdad L(δ(t)(p) = 1, usando la representaci´on formal de δ(t) dada por u(t) − u(t − ǫ)

      δ(t) = l´ım

      ǫ→0

      ǫ (con la segunda propiedad de traslaci´on, obtendr´ıamos la transformada de

      )). Para justificar la igualdad L(δ(t)(p) = 1, calculamos la transfor- δ(t − t mada de la funci´on u(t) − u(t − ǫ)

      ǫ y a continuaci´on hacemos tender ǫ a 0. Por la linealidad de la transformada, tenemos

      1 µ u(t) − u(t − ǫ)

      L =

      (L(u(t)) − L(u(t − ǫ))) = ǫ ǫ

      −ǫp −ǫp

      1 µ 1 e e − 1 = = .

      − ǫ p p

      −ǫp Si tomamos l´ımite cuando ǫ tiende a 0, con p fijo, se obtiene claramente el valor 1.

      PROBLEMAS RESUELTOS 3 2

      6p +4p +16 5 3 1. Hallar la transformada inversa de F (p) = . p +4p

      Descomponemos F (p) en suma de fracciones simples

      3

      2

      6p + 4p + 16 A B C Dp + E = = + + +

      5

      3

      2

      3

      2

      p + 4p p p p p + 4

      4

      3

      2

      p (D + A) + p (B + E) + p (4A + C) + 4Bp + 4C = .

      3

      2

      p (p + 4) Si identificamos los coeficientes de los numeradores inicial y final, encon- tramos el sistema A + D = 0 B + E = 6

      4A + C = 4

      4B = 0

      4C = 16 F´acilmente se obtiene A = B = D = 0, C = 4 y E = 6. Por tanto, F (p) se descompone de la forma siguiente

      3

      2

      6p + 4p + 16

      4

      6 = . +

      5

      3

      3

      2

      p + 4p p p + 4 Usando la tabla de transformadas encontramos

      2

      2

      2 F (p) = 2 + 3 = 2L(t ) + 3L(sen 2t),

      3

      2

      

    2

      p p + 2

      2 Por tanto, f (t) = 2t + 3 sen 2t.

      

    2. Expresar la funci´on escalonada siguiente en t´erminos de la funci´on escal´on

    unidad de Heaviside y encontrar su transformada de Laplace: 0 si x &lt; −1 f (x) = 2 si −1 ≤ x &lt; 0 1 si 0 ≤ x p p e 1 2e −1

      = . f (x) = 2u(x + 1) − u(x) y su transformada es F (p) = 2 −

      p p p

    3. Una masa est´a sujeta al extremo de un resorte vertical de constante k sus-

      

    pendido de un punto fijo. En el instante t = 0 se da un golpe instant´aneo

    hacia arriba que supone un impulso de I unidades. Encontrar la posici´on

      x(t) para t &gt; 0. Escogemos un eje OX vertical (con la direcci´on positiva hacia abajo) que contiene al resorte y siendo O el punto donde la masa que cuelga del resorte est´a en equilibrio (en ese punto se igualan el peso y la fuerza el´astica del resorte). La ecuaci´on de movimiento tiene la forma m¨ x = −kx + mg − Iδ(t), junto con las condiciones iniciales son x(0) = ˙x(0) = 0Aplicando la trans-

      2

      formada a ambos miembros, obtenemos: mp X(p) = −kX(p) + mg/p − I.

      2

      2 Por tanto, X(p) = mg/(p(mp +k). Ahora descomponemos

    • k))−I/(mp en suma de fracciones simples

      1 A Bp + C . + =

      2

      2

      p(mp + k) p mp + k un c´alculo sencillo permite obtener A = 1/k, B = −m/k y C = 0. Por tanto, la transformada X(p) tiene la forma 1 p

      1 X(p) = (mg/k) . − (mg/k) − (I/m)

      

    2

      2

      p p + (k/m) p + (k/m) Invirtiendo la transformada, resulta x(t) = (mg/k) pk/m t)¢ −

      ¡1 − cos( √ (I/ km) sen( pk/m t).

      Este problema se podr´ıa resolver sin usar la delta de Dirac. Basta tener en cuenta que el efecto del martillazo ser´ıa el de aplicar una velocidad inicial a la masa. Esta velocidad se deduce de la relaci´on I = mv. Es decir,

      ˙x(0) = −(I/m). Entonces la ecuaci´on de movimiento tendr´ıa la forma m¨ x = −kx + mg, con las condiciones iniciales x(0) = 0 y ˙x(0) = −(I/m). Aplicando la transformada de Laplace, resulta

      2

      mp X(p) = −kX(p) + mg/p − I, que es exactamente la expresi´on que se obtiene por el otro procedimiento.

      −1 4. Probar que la funci´on f (t) = t no tiene transformada de Laplace. Z ∞ −pt

      e La integral dt es impropia de tercera especie (es impropia en t t = 0). Para estudiar su convergencia descomponemos la integral en dos de la forma Z Z Z

      1 ∞ ∞ −pt −pt −pt

      e e e dt = dt + dt. (5.7) t t t

      1 La integral propuesta es convergente cuando lo son las dos del segundo

      miembro. Vamos a ver que la primera de ellas es divergente. Para ello, hacemos el cambio de variable x = 1/t y se transforma en una de primera especie Z Z

      1

      1

    −pt −(p/x)

      e e dx = dt = − t x Z +∞

    • ∞ −(p/x)

      e = dx. x

    1 Ahora aplicamos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite con la inte-

      Z

      dx gral divergente . Necesitamos calcular el l´ımite x

      1 −p/x e x −p/x

      l´ım = l´ım e = e = 1,

      1 x→+∞ x→+∞ x

      para cualquier p 6= 0. Esto muestra que el car´acter de la primera integral del segundo miembro de (

      5.7 ) es el mismo que el de la utilizada para comparar, es decir, divergente.

    5. Consideremos un circuito LC en serie sujeto a un voltaje constante F .

      En el instante t = 1, el circuito recibe una fuerte descarga de voltaje 2F . Encontrar la carga en funci´on del tiempo si Q(0) = ˙ Q(0) = 0.

      La ecuaci´on de movimiento tiene la forma Q

      L ¨ Q + = F + 2F δ(t − 1),

      C siendo las condiciones iniciales Q(0) = ˙ Q(0) = 0. Aplicando la transfor- mada de Laplace a ambos miembros, resulta L

      (Q) F

      2 −p

      L Lp (Q) + = + 2F e .

      C p Despejando L(Q), obtenemos

      −p

      F

      2F e

    • L (Q) = .

      2

      2

      p(Lp + (1/C)) Lp + (1/C) Descomponiendo el primer sumando del miembro derecho en suma de fracciones simples, encontramos

      −p

      F C LCpF

      2F e

    • L (Q) = .

      −

      2

      2

      p Lp + (1/C) Lp + (1/C) Para invertir la transformada m´as c´omodamente, escribimos ´esta de la forma siguiente

      F C p r C √

      −p

      L L (Q) = + 2F e (sen(t/ LC). − CF √

      2

      2

      p L p + (1/ LC) Usando la tabla de transformadas, encontramos q ³ ´

      √

      C t−1 √

      F cos(t/ LC) + 2F sen C − CF si t ≥ 1

      L LC

      Q(t) = √ F cos(t/ LC) C − CF si 0 ≤ t ≤ 1.

      Vemos que el efecto de la descarga el´ectrica se traduce en la aparici´on, a q ³ ´

      C t−1 √ partir del segundo 1, del sumando 2F sen . L LC

      PROBLEMAS PROPUESTOS

      1. Si f (t) es la funci´on de onda cuadrada con periodo 2 dada por (

      1 si t ∈ (0, 1) f (t) = 0 si t ∈ (1, 2) determinar su transformada. −p

      1−e Soluci´on: F (p) = . −2p ) p(1−e at 2. .

      Hallar t ∗ e

      2 at

      )(e Soluci´on: −(t/a) + (1/a − 1).

      3. Usar el Teorema de convoluci´on para probar que

    Z

    t

      F (p)

      −1

      L (t) = f (u) du, p donde F (p) = L(f )(p).

      n

      4. Determinar la transformada de Laplace de f (t) = t (n ∈ N). Z

    • ∞ n −pt

      Soluci´on: Aplicar la f´ormula de integraci´on por partes en la integral t e dt

      n n−1

      y deducir la relaci´on L(t ) = (n/p)L(t ). Entonces, a partir de la igual-

      n n! dad L(1) = 1/p, deducir que L(t ) = n+1 .

    p

      2 ′′

      5. Encontrar la soluci´on de y + a y = f (x) que verifica las condiciones ′ iniciales y(0) = y (0) = 0. Z x

      Soluci´on: y(x) = (1/a) f (s) sen a(x − s) ds, para x ≥ 0.

      6. Resolver el problema de valores iniciales ( ′′

      y + 4y = 4x

      

    y(0) = 1, y (0) = 5.

      Soluci´on: y(x) = x + 2 sen 2x + cos 2x.

      7. Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on integral Z x

      3

    • 3

      y(x) = x sen(x − t) y(t) dt.

    5 Soluci´on: y = x + (1/20)x .

      

    8. Usar la transformada de Laplace para determinar la soluci´on del sistema

    (

      x = x + y

      ′

      y = −x + 3y que verifica las condiciones iniciales x(0) = 1, y(0) = −1.

      2t 2t 2t 2t Soluci´on: x(t) = e .

      − 2te e y(t) = −e − 2te

    9. Un circuito el´ectrico consta de una resistencia de R ohmios en serie con

      un condensador de capacidad C faradios, un generador de E voltios y un interruptor. En el instante t = 0 se cierra el interruptor. Si la carga en el condensador es cero en el instante t = 0, encontrar la carga y la corriente para t &gt; 0

      −(t/CR) ).

      Soluci´on: Q(t) = CE(1 − e

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