Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

  UNIVERSID ADE FEDERAL DE ALA GO AS

  INSTITUTO DE FÍSICA PÓS-GRADUA Ç O EM FÍSICA

  Dissertação de Mestrado Deslo alização de Ondas A ústi as em

  Sistemas Unidimensionais não P erió di os Alex Eman uel Barros Costa

  Ma eió 2011 Alex Eman uel Barros Costa Deslo alização de Ondas A ústi as em

  Sistemas Unidimensionais não P erió di os Dissertação apresen tada ao Instituto de Físi a da Univ ersidade F ederal de Alagoas, omo parte dos réditos para a obtenção do título de Mestre em Ciên ias.

  Orien tador: Prof. Dr. F ran is o Ana leto Barros Fidelis de Moura

  Ma eió 2011

Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale C437d Costa, Alex Emanuel Barros

  

Deslocalização de ondas acústicas em sistemas unidimensionais não perió-

dicos / Alex Emanuel Barros Costa. – 2011. 54 f. : il., grafs. Orientador: Francisco Anacleto Barros Fidelis de Moura.

Dissertação (mestrado em Física da Matéria Condensada) – Universidade

Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2011.

  Bibliografia: f. 50-54.

  

CDU: 531.771.1

  Dedi o esta dissertação aos meus pais Eman uel e Marisa, aos meus irmãos e à minha esp osa Larissa. Agrade imen tos Ap ós dois anos de in tensa dedi ação para a on retização de mais uma etapa de minha formação a adêmi o/pro ssional, en m, hega o momen to de agrade er

  àqueles que on tribuíram das mais div ersas formas, e estiv eram presen tes duran te esse p erío do.

  Agradeço a Deus p or me on eder força e sab edoria para lidar om as adv ersi- dades que surgem, e p or sempre se fazer presen te nos mais div ersos momen tos de minha vida.

  A minha esp osa Larissa, p or to do seu amor, arinho e alegria que tenho re e- bido duran te to do esse temp o. Agradeço p or sua pa iên ia e ap oio nos div ersos momen tos que tan to pre isei.

  Agradeço aos meus pais p elo amor, dedi ação e on ança onstan tes, p or terem in en tiv ado e in v estido na minha edu ação. A os meus irmãos, Lily an, Eman uelle e Vi tor, p elo arinho e amizade e tam b ém aos demais familiares p elo ap oio.

  A o meu orien tador prof. F ran is o Fidelis: p elo onhe imen to ompartilhado e onstruído duran te o mestrado, p elo trabalho onjun to realizado duran te esse temp o, que foi ara terizado p ela seriedade e ompromisso.

  A o prof. Mar elo Lyra p elas indi açõ es de referên ias essen iais para a quali- dade do meu trabalho, assim omo p or ter on tribuído, revisando, os artigos que foram publi ados.

  A o prof. Glaub er p or ter on tribuído para minha formação ien tí a duran te a graduação, e p or suas indi açõ es de referên ias p ertinen tes e imp ortan tes para a melhoria da qualidade do meu trabalho.

  A os meus olegas: Filip

  e, Ri ardo, Henrique, F red, Neto, Lidiane, Satik o, Gab eh, Anderson, P aulo, W andearley , Tha yla, Janderson e Max. A os professores do IF que on tribuíram para a minha formação ien tí a. A os demais amigos da p ós-graduação p ela agradá v el on viv ên ia. À CAPES p or p ossibilitar a on tin uidade dos meus estudos graças ao ap oio nan eiro.

  Resumo Nesta dissertação de mestrado estudamos n umeri amen te a propagação de on- das a ústi as em meios não p erió di os unidimensionais. Nós nos on en tramos em dois tip os de meios: (1) om distribuição da elasti idade p ossuindo orrelação de longo al an e e (2) om distribuição ap erió di a pseudo-aleatória. No primeiro aso, a elasti idade da distribuição aleatória é assumida ter um esp e tro de p otên-

  α

  ia . Usando o méto do de matriz de transferên ia resolv emos a v ersão

S(k) ∼ 1/k dis reta da equação da onda es alar e al ulamos o omprimen to de lo alização

  Além disso, apli amos o méto do de diferença nita de segunda ordem para as v ar- iá v eis temp oral e espa ial e estudamos a natureza das ondas que se propagam na adeia.

  Nossos dados n uméri os indi am a presença de ondas a ústi as estendidas para alto grau de orrelação. Em on traste om orrelação lo al, demonstramos n umeri- amen te que orrelaçõ es de livre-es ala promo v em uma fase está v el om ondas a ústi as livre no limite termo dinâmi o. No outro aso, a distribuição das on- stan tes elásti as foram geradas usando uma função senoidal uja fase v aria omo

  ν

  uma lei de p otên ia, , onde rotula as p osiçõ es ao longo da rede. A o

  φ ∝ n n

  onsiderar no v amen te uma v ersão unidimensional dis retizada da equação de onda e uma reform ulação da matriz re ursiv a nós al ulamos o omprimen to de lo al- ização den tro da faixa de freqüên ias p ermitidas. Nossos dados n uméri os indi am a presença de ondas a ústi as propagan tes om freqüên ia diferen te de zero para um su ien te grau de ap erio di idade.

  P ala vras- ha v

  e: Ondas A ústi as - Lo alização, Ap erio di idade, Correlação, Desordem, Sistemas A ústi os.

  Abstra t In this Master degree thesis w e n umeri ally study the propagation of a ousti w a v es in one-dimensional nonp erio di s medium. W e fo us on t w o kinds of medium:

  (1) a media with s ale-free long-range orrelated elasti it y distribution and (2) medium with an ap erio di pseudo-random elasti it y distribution. In the rst ase, the random elasti it y distribution is assumed to ha v e a p o w er sp e trum

  S(k) ∼ α

  . By using a transfer matrix metho d w e solv e the dis rete v ersion of the

  1/k

  s alar w a v e equation and ompute the lo alization length. In addition, w e apply a se ond-order nite-di eren e metho d for b oth the time and spatial v ariables and study the nature of the w a v es that propagate in the hain.

  Our n umeri al data indi ate the presen e of extended a ousti w a v es for high degree of orrelations. In on trast with lo al orrelations, w e n umeri ally demon- strated that s ale-free orrelations promote a stable phase of free a ousti w a v es in the thermo dynami limit. In the another ase, elasti it y distribution w as gen-

  ν

  erated b y using a sin usoidal fun tion whose phase v aries as a p o w er-la w, ,

  φ ∝ n

  where lab els the p ositions along the media. By onsidering again a dis rete one-

  n

  dimensional v ersion of the w a v e equation and a matrix re ursiv e reform ulation w e ompute the lo alization length within the band of allo w ed frequen ies. Our n umeri al data indi ates the presen e of extended a ousti w a v es with non-zero frequen y for su ien t degree of ap erio di it y .

  Keyw ords: A ousti - W a v es Lo alization, Ap erio di it y , Correlation, Disor- der, A ousti Systems. Sumário

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

  

  3

<a href="gldoctocv5ek7h.html#14"> ústi as</a> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4

<a href="gldoctocv5ek7h.html#16">ransferên ia</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#16"> omprimen</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#16"> alização</a> . . . . . . . .

  6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

<a href="gldoctocv5ek7h.html#23">Es ala</a> . . . . . . . . . . .

  13

<a href="gldoctocv5ek7h.html#28">Es ala</a> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18

  

  23

<a href="gldoctocv5ek7h.html#34"> om</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#34"> orrelação</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#34">al an e</a> . . . . . . . .

  24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28

  

  38

  40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  41

  49

  51

  58 Capítulo

  1 INTR ODUÇ O No sé ulo

  XX, as propriedades eletr ni as motiv aram o estudo da ondução de elétrons em div ersos sistemas, ulminando om o surgimen to dos transístores que rev olu ionaram a eletr ni a e trouxeram enormes b enefí ios à so iedade. Ander- son

   ℄, nesse mesmo sé ulo, impulsionou os estudos da lo alização eletr ni a

  ao prev er que to dos estados em meios desordenados são lo alizados para sistemas de baixa dimensionalidade, indep enden te do grau de desordem. Em bus a da vio- lação da T eoria de Anderson, realizada p or in úmeros ien tistas, p o de-se a rmar, ho je, que orrelação

   ℄ e ap erio di idade

   na desordem, são formas on-

  v enien tes de tornar ondutores sistemas uni e bidimensionais. Algo mais p e uliar e in teressan te foi a observ ação de que o fen meno de lo alização eletr ni a se dev e à ara terísti a ondulatória do elétron

   ℄, o que in en tiv ou e estim ulou o estudo da lo alização em outras lasses de sistemas.

  Nas últimas duas dé adas tem res ido o in teresse p elo estudo de propagação de ondas lássi as em meios heterogêneos

   ℄. Nos anos 80, res eu o in teresse

  em on trolar as propriedades óti as e a ústi as dos materiais, o que p ossiblitou o surgimen to de no v os on eitos omo ristais fot ni os

   e ristais fon ni os

  

  

que exploram as propriedades ondulatórias da luz e do som, para on trolar

  a propagação nesses materiais. Nesse on texto, lo alização de ondas tem sido estudada no âm bito de ondas a ústi as

   e eletromagnéti as ℄ , p ermitindo

  utilizar essas ondas, ditas lássi as, para a ara terização de materiais, assim omo para apli ação te nológi a. P o demos itar omo exemplo a riação de disp ositiv os fot ni os e fon ni os que graças à propriedade da lo alização de ondas, des rita p or Anderson, ltram ertas frequên ias imp ossibilitando sua propagação.

  A partir das onsideraçõ es feitas a ima, nosso in teresse reside na in v estigação de duas lasses de sistemas: ap erió di os e om orrelação de longo al an e; am b os amplamen te estudados no mo delo eletr ni o exibindo transição de Anderson no regime de .

  d ≤ 2

  Dando on tin uidade a esse apítulo, apresen taremos a equação a ústi a do nosso mo delo, faremos uma revisão da teoria de Anderson e dos prin ipais resul- tados da in orp oração de orrelação e ap erio di idade em sistemas desordenados.

  1.1 Ondas A ústi as Nessa seção form ularemos o problema de propagação de ondas a ústi as em sis- temas elásti os unidimensionais

   . É didati amen te, in teressan te ab ordar

  o aso da propagação de ondas em ordas esti adas an tes de des rev er, de forma geral, o aso a ústi o. Esse simples e usual exemplo, nos forne e resultados im- p ortan tes para a ompreensão de div ersos outros sistemas omo p or exemplo, a propagação de ondas a ústi as em sólidos e em mem branas elásti as

   ℄.

  Consideremos que uma orda p ossui densidade onstan te (massa/ omprimen to).

  ρ Figura 1.1: Uma p orção de uma orda xa em am b os os lados. O deslo amen to

  ds do equilíbrio no lado esquerdo é e no lado direito .

  ψ ψ + dψ Seja um omprimen to da orda des rita p or .

  V eja a represen tação da

  ds s(x,t)

  orda na gura

   A tensão v aria om a p osição . O deslo amen to é ~τ x ψ(x)

  p equeno e p erp endi ular à direção . A massa do omprimen to do seguimendo

  x dm

  de orda é . As omp onen tes horizon tais das tensõ es são apro ximadamen te

  ds ρds

  iguais e op ostas, sendo assim, iremos negligen iar o mo vimen to da orda na direção . A força na direção é:

  x ψ(x)

  2 ∂ ψ(x,t)

  (1.1)

  

∆F = ρds ,

  2 ∂t em que represen ta a diferença da tensão em e .

  ∆F x x + dx

  A força p o de ser en on trada atra v és do ál ulo da diferença da omp onen te

  y da tensão:

  (∆F ) = −τ (x) sin(θ ) + τ (x + dx) sin(θ ) y

  1

  2

= −τ (x) tan(θ ) + τ (x + dx) tan(θ )

  1

  2 ∂ψ(x,t) ∂ψ(x,t)

  • = − τ (x) τ (x) ∂x ∂x

  x x+dx ∂ ∂ψ(x,t)

  ∂x ∂x

  (1.2) = τ (x) dx.

  assumindo que é p equeno para p equenos deslo amen tos, onsideramos

  θ sin θ ≈ . tan θ

  Agora igualando as equaçõ es

   para : ds ≈ dx

  2 ∂ ψ(x,t) ∂ τ (x) ∂ψ(x,t)

  2 ∂t ∂x ρ ∂x

  (1.3) = .

  P ara o aso em que , ou seja, para ordas homogêneas temos a equação

  τ (x) = τ

  da onda om umen te onhe ida:

  2

  2

∂ ψ(x,t) τ ∂ ψ(x,t)

  (1.4)

  = ,

  2

  2

∂t ρ ∂x

em que a v elo idade da propagação da onda é . v = pτ/ρ

  1.2 Matriz de T ransferên ia e omprimen to de lo- alização No on texto de lo alização de ondas, uma maneira simples de pro eder é form ular o problema em termos matri iais, visando p or m al ular o omprimen to de lo a- lização do sistema. Com essa nalidade, bus aremos uma represen tação matri ial para a equação de ondas a ústi as unidimensionais apresen tada na seção an terior. A partir de en tão, onsideraremos a massa de ada segmen to igual a e p ortan to

  1

  omo sendo uma medida efetiv a das propriedades elásti as lo ais do meio

  τ (x)/ρ ( onstan te elásti a efetiv a ).

  η(x) −iωt V amos onsiderar que tem dep endên ia temp oral harm ni a da forma .

  ψ exp

  −iωt P o demos, p ortan to, es rev er sendo a frequên ia da onda.

  ψ(x,t) = ψ(x) exp ω

  Assim, a equação da onda a ústi a em uma dimensão é es rita:

  ∂ ∂ψ(x)

  2

  ∂x ∂x

  (1.5) [η(x) ] + ω ψ(x) = 0.

  Considerando uma dis retização uniforme da rede om espaçamen to e sendo

  ∆x

  o n úmero do sítio ao longo da adeia, as p osiçõ es passam a ser m últiplos de

  i x

  , ou seja, para um mo delo dis retizado. Usando que:

  ∆x x = i∆x ∂ ∂ψ(x)

  i i+1 i i−1 i i−1 ∂x ∂x

  (1.6) [η(x) ]≈[η (ψ − ψ ) −η (ψ − ψ )].

  e seguindo a referên ia

   v amos onsiderar . Assim temos: ∆x = 1

  2

  i i+1 i i−1 i i−1 i

  (1.7)

η (ψ − ψ ) − η (ψ − ψ ) + ω ψ = 0.

  P o demos rearranjar os termos e es rev er na forma matri ial:

  

       

  2 i i i −ω +η +η η

  −1 −1

ψ − ψ ψ

i+1 i i

i i

  η η

       

  (1.8)

  

= =T

i

  

       

ψ 1 ψ ψ i i−1 i−1

  A matriz é a matriz de transferên ia lo al que one ta a amplitude da onda

  T i

  2

  10

  10

  14

  • 2

  N=2

  10

  17 λ/Ν

  N=2

  • 4

  10

  • 6

  10

  1

  2

  3

  4 ω

  Figura 1.2: para um sistema totalmen te desordenado. Observ e que ap enas

  λ/N em há uma sup erp osição das urv as. ω = 0

  no sítio om os sítios e . P ara uma adeia que p ossui sítios, a matriz

  i + 1 i i − 1 N

  de transferên ia total que one ta a amplitude no m da adeia om as amplitudes

  Q N ψ

  1

  ini ias é . Dessa forma, dada um ondição ini ial , p o demos

  Q = T C =

  N i i=1 ψ ψ N +1

  en on trar , uma v ez que .

  C = C = Q C N N N N

  ψ

  O exp o en te de Ly apuno v, ou in v erso do omprimen to de lo alização , é

  λ

  de nido p or:

  1 1 |Q N C |

  

N →∞

λ N |C |

  (1.9)

γ(ω) = = lim ln .

  

14

  17 Consideremos duas redes om e sítios que p ossui onstan tes N = 2 N = 2 elásti as aleatórias, om v alores igualmen te distribuídos no in terv alo e

  [1.5,2.5]

  v ejamos o omp ortamen to do omprimen to de lo alização para esse sistema. A gura

   mostra que ap enas para o omprimen to de lo alização div erge no ω = 0

  limite termo dinâmi o; esse resultado sugere a existên ia de estado deslo alizado ap enas para a frequên ia , isso represen ta que para , to dos os estados

  ω = 0 ω 6= 0

  a ústi os são lo alizados. Esse resultado simples, demonstra o efeito da desordem na propagação a ústi a em uma dimensão.

  Como já an tes tínhamos omen tado, efeitos de desordem é um tópi o de grande in teresse na Físi a da Matéria Condensada, sendo bastan te ompreendido para sistemas eletr ni os. P or essa razão, v amos nos situar nesse on texto apresen tando os prin ipais resultados. Na pró xima seção é apresen tado o mo delo de Anderson, que p ermitiu grandes des ob ertas na dé ada de 60 sobre lo alização eletr ni a.

  1.3 O Mo delo de Anderson Em 1958, P . W. Anderson

   apresen tou um mo delo que p ermitiu in v estigar

  a natureza dos estados eletr ni os em sistemas desordenados. Mostrou que na presença de desordem a natureza da função de onda p o de m udar de estendida, omo no aso das ondas de Blo h

   para lo alizada. Além disso, p ela primeira

  v ez, estimou quan titativ amen te a largura da desordem ne essária para a o orrên ia dessa transição que ho je é onhe ida omo T ransição de Anderson. O Hamiltoniano de Anderson, na represen tação de segunda quan tização, é expresso p or:

  X X † †

  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

  • (1.10)

    H = E C C T C C .

  i i ij j i i i i6=j Nessa expressão, é a energia do i-ésimo sítio, é a in tregral de trans-

  E i T ij †

  ferên ia en tre os sítios e (tam b ém onhe ida p or amplitude hopping ) e ˆ e

  i j C

ˆ são, resp e tiv amen te, os op eradores de riação e destruição do elétron no sítio

  C

  . É imp ortan te desta ar que, nesse Hamiltoniano as in teraçõ es Coulom bianas

  i

  en tre os elétrons são desprezadas. A desordem ara terísti a do mo delo é in tro- duzida es olhendo-se para ada sítio de forma aleatória den tro de um in terv alo

  E i i

  . O grau de desordem do sistema é on trolado p elo parâmetro , o-

  [−W/2,W/2] W

  nhe ido omo largura da distribuição de desordem. Quando é obtido um

  W = 0 sistema ordenado, no qual to dos os sítios p ossui a mesma energia.

  O mo delo tridimensional de Anderson, prev ê a existên ia de estados estendi- dos, para um grau de desordem menor que o grau ríti o , ou seja, em que

  W c

  . Utilizando-se desse mo delo, Anderson mostrou a existên ia da hamada

  W &lt; W c lo alização da função de onda eletr ni a p ela desordem.

  Um mo do simples de dis utir o mo delo de Anderson é es rev endo os auto-

  P

  estados do Hamiltoniano ˆ om energia em termos da expansão

  H E ψ = a φ i i i

  em que é a função de onda de um elétron lo alizado no sítio . Assim temos:

  φ i i

  X

  • +

    (1.11)

    Ea = E a T a .

  i i i ij j j

  Sendo um estado não esta ionário, os o e ien tes ' dep enden tes do temp o,

  ψ a i s

  ob ede erão à equação:

  X da i

  • (1.12)

    − i~ = E a T a .

  i i ij j dt j

  V amos in v estigar o aso sem desordem, ou seja, em que W=0. P o demos sup or que os p oten iais estão distribuídos sobre uma rede regular, na qual só existem os termos de hopping en tre os primeiros vizinhos para ada sítio , sendo esses de

  z i

  mesma magnitude . Dessa forma a equação

   de S hö dinger dep enden te do T

  temp o, torna-se

  j=z

  X

  (1.13)

  

Ea i = E i a i + T a i+j ,

j=1

  em que é o termo de hopping en tre qualquer par de sítios da rede. P or simpli-

  T

  idade, sab endo que a energia é a mesma em to dos os sítios, onsideremos que

  E i

  p ossui v alor . P ara uma adeia unidimensional, a equação

   se reduz a E = 0 i

  (1.14)

  

Ea i = T (a i−1 + a i+1 ),

ink

  que p o de ser solu ionada es olhendo . Assim, obtemos a relação de

  a = a exp n

  disp ersão para uma rede unidimensional: (1.15)

E = 2T cos k.

P ortan to, a banda p ermitida é dada p or: , om largura de banda

  −2T &lt; E &lt; 2T

  . De maneira geral, para uma rede de dimensão om n úmero de primeiros

  B = 4T d

  vizinhos , a largura de banda é . O aso geral, sem simpli açõ es, em que

  z B = 2zT

  e , foi ab ordado p or Anderson utilizando méto dos p erturbativ os para

  W 6= 0 T 6= 0

  e . Anderson demostrou om esse mo delo que se for su ien temen te

  W T

  grande, o orre um transição metal-isolan te em que to dos os estados na banda são exp one ialmen te lo alizados. O ritério qualitativ o para existên ia de estados deslo alizados é dado p or:

  (1.16)

W &gt; B. Figura 1.3: T ransição de Anderson.

  a) P oten ial p erió di o om largura de banda .

  b) P oten ial aleatório om largura de desordem . Quando a largura de de-

  B W sordem sup erar a largura de banda , o orre lo alização induzida p or desordem.

  W B

  V amos apresen tar quan titativ amen te a origem da lo alização. Consideremos o mo delo de Blo h

   om p oten ial p erió di o, p or on v eniên ia o p oten ial rista-

  lino , ou seja, uma situação de elétron livre. Caso seja in tro duzida uma

U(r) = 0

  barreira de p oten ial, a esse elétron, a função de onda será par ialmen te transmi- tida e re etida; se for in tro duzida duas barreiras a onda eletr ni a será re etida duas v ezes, ha v endo in terferên ia onstrutiv a ou destrutiv

  a, que dep enderá da diferença de fase en tre as ondas. O padrão de in terferên ia p o de ser bastan te al- terado, ao onsiderar v árias barreiras om p oten iais aleatórios ou espaçadas de forma aleatória, a onda sofrerá v árias re exõ es sem man ter o erên ia de fase. Es- sas re exõ es ausam in terferên ias destrutiv as, tornando a onda exp onen ialmen te lo alizada. A função de onda passa a ar lo alizada em um p equena região do sólido, assumindo v alores desprezív eis em qualquer outra região.

  P ara um grau de desordem forte, Anderson mostrou que a função de onda é Figura 1.4: F unção de onda lo alizada. O parâmetro mede a largura típi a da

  λ função de onda e é tam b ém onhe ido omo omprimen to de lo alização.

  lo alizada exp onen ialmen te em uma p equena região. A probabilidade de en on tar

  −|~ r−~ r |/λ

  o elétron de ai exp onen ialmen te om a distân ia, ou seja, . A

  |ψ| ∼ e

  quan tidade , onhe ida omo omprimen to de lo alização, p o de ser usada para

  λ

  ara terizar um estado eletr ni o omo sendo lo alizado ou deslo alizado. Em geral, para um estado deslo alizado, no limite termo dinâmi o .

  λ → ∞

  1.4 T eoria de Es ala para a T ransição de Anderson V amos agora apresen tar a teoria de es ala

   ℄ que nos p ermite en on trar a de-

  p endên ia da transição de Anderson om a dimensão. A hip ótese bási a dessa teoria é que uma úni a quan tidade ara terísti a, rotulada de ondutân ia ge- neralizada , on trola a transição metal-isolan te de Anderson para a temp eratura

  g

  . Nessa ab ordagem, a teoria de es ala foi apli ada na reform ulação do mo-

  T = 0

  delo de Anderson feita p or Thoules

   ℄. Na reform ulação de Thoules, as unidade

  fundamen tais deixam de ser os sítidos at mi os , passando a ser hip er ub os de

  i d

  v olume . Dessa forma, um sólido ristalino passa a ser formado p or v árias aixas

  L

  a opladas. As energias e , do mo delo de Anderson, agora são map eadas res- p e tiv amen te no espaçamen to médio en tre os nív eis e em que represen ta

  ∆E δE o deslo amen to ausado p or m udanças nas ondiçõ es de on torno.

  Utilizando o prin ípio de in erteza, p o demos rela ionar om a ondutividade

  δE

  no limite ma ros ópi o. A tra v és do prin ípio da in erteza temos

   σ

  (1.17)

  

δE = ~/t ,

D

  sup ondo que o elétron difunde até os on tornos de uma aixa de lado des rev endo

  L

  um mo vimen to aleatório ou Bro wniano em um temp o , temos a relação:

  t D

  2

  (1.18)

  

t = L /D,

D

  em que é a onstan te de difusão. Com o uso da relação de Einstein en tre a

  D

  ondutividade e as propriedades de difusão: (1.19)

  

σ = eDn(E),

  e om binando as equaçõ es

   temos: σ~

  2

  2 e (L n(E))

  (1.20)

δE = .

  A densidade de estados:

  1

  d L ∆E

  (1.21)

n(E) = .

  A razão nesse on texto é agora vista omo sendo a força de desordem

  ∆E/δE

  do sistema, análogo a razão do tradi ional mo delo de Anderson. O parâmetro

  Figura 1.5: Comp ortamen to qualitativ o de para uma, duas e três dimensõ es.

  β(g) Apresen tado p or Abrahams, Anderson, Li iardello e Ramakrishnam em 1979.

  −1

  de desordem, denotado p or , p ossui dep endên ia om a es ala e é de nido p or:

  g

1 ∆E

  

g(L) δE

  (1.22) ≡ .

  Substituindo a equação equação

   , obteremos a dep endên ia

  do parâmetro de ordem om a es ala:

  2 d−2

  (1.23)

g(L) = (~/e )σL .

A equação

   é v álida para o limite ma ros ópi o, uma v ez que a equação

  

  é v erdadeira nesse limite. O parâmetro p o de ser visto omo uma ondutân ia

  

g

  

2 d−2

  generalizada em unidades de , tendo o termo de nido omo a ondutân-

  

e /~ L σ

ia de um ub o d-dimensional de lado e ondutividade .

  V amos in v estigar a

  L σ

  dep endên ia de om o omprimen to de es ala utilizado. Com essa nalidade

  g(L)

  sup ondo que seja a ondutân ia generalizada para

  g = g(L ) = δE(L )/∆E(L ) d

  um sistema om v ários hip er ub os a oplados de v olume . A teoria de es ala

  L

  assume que, dado em uma es ala om omprimen to , p o demos obter em

  g L g

  uma es ala maior . Na no v a es ala , o parâmetro é ompletamen te

  

L = bL L g

  determinado onhe endo e o fator de es ala . P ara explorar o omp ortamen to

  g b

  do parâmetro om a es ala, v amos obter a deriv ada logarítimi a de , denotada

  g g

  p or e expressa p or:

  β dlng(L)

  dlnL

  (1.24)

β(g) = .

  A gura

   represen ta o omp ortamen to qualitativ o da função para uma, β

  duas e três dimensõ es. P ara p ositiv o o parâmetro res e om o res imen to

  β g de e para negativ o de res e om o res imen to de .

  V amos des rev er o

  L β g L

  omp ortamen to de , observ ando o omp ortamen to de em seus limites assin tóti-

  β g

  os, ou seja, em e . P ara o limite ma ros ópi o, em que é grande,

  g → ∞ g → 0 g

  p o demos usar a equação

   e partindo dessa relação, obtermos em : β g → ∞

  (1.25)

  

lim β(g) = d − 2,

g→∞

  ou seja,

   

  em

  

  • 1 d = 3   

  (1.26) em

  β(∞) = d = 2    

  em

   −1 d = 1

  P ara o aso em que , ou seja, fra o a oplamen to e forte desordem, o

  g &lt;&lt; 1 mo delo de Anderson prev ê que to dos os estados são lo alizados e de aem exp onen- ialmen te om a distân ia. Nos on tornos de uma aixa de dimensão linear , a

  L

  amplitude da função de onda de um elétron lo alizado den tro da aixa é da ordem

  −γL

  de , em que é o omprimen to de lo alização. Como o a oplamen to en tre

  e 1/γ

  as aixas tam b ém p ossui a mesma dep endên ia exp onen ial om , a ondutân ia

  L

  generalizada de ai exp onen ialmen te, p ortan to, usando a equação

   temos g

  que: (1.27)

  

lim β(g) = ln(g),

g→0

  p ortan to, temos o seguin te resultado que indep enden te da dimensão, (1.28)

lim β(g) = −∞.

  g→0

  Assumindo que a função é monot ni a en tre os limites de e

  β(g) g → ∞

  , p o demos repro duzir fa ilmen te a gura

   Observ emos aten tamen te o g → 0

  omp ortamen to de para . P o demos notar que, para essa dimensão existe

  β d = 3

  um p on to xo instá v el em om . Em , a ondutân ia indep enden te

  β = 0 g = g c g c

  da es ala, ara terizando uma transição metal-isolan te de Anderson. A prin ipal on lusão da teoria de es ala é que para , em esp e ial em e , não

  d &lt; 3 d = 1 d = 2

  existe transição metal-isolan te e to dos estados são lo alizados, p ois a ondutân ia v ai sempre a zero quando . Em analogia om as teorias de transiçõ es de fase

  L → ∞

  de segunda ordem, a ondutividade em orren te on tín ua e o omprimen to

  σ DC

  de lo alização , pró ximos da energia ríti a de transição (mobility e dge) tem um

  λ omp ortamen to tip o lei de p otên ia:

  s σ ∝ (E − E )

  DC c −ν

  c

  (1.29) λ ∝ (E − E ) .

  Os v alores dos exp o en tes foram n umeri amen te obtidos usando uma

  s = ν = 1

  expansão em p or W egner

   ℄ e tam b ém p or té ni as de expansão diagramáti a d+ǫ

  p or V ollhard e Wl e

   ℄. Re en temen te, onsideraçõ es sistemáti as de v ariá v eis

  irrelev an tes e orreçõ es não lineares na teoria de es ala têm re nado os resultados, obtendo o exp o en te ríti o om maior pre isão n uméri a

   ℄.

  ν ≈ 1.57

  1.5 Violação da T eoria de Es ala A té en tão, vimos que a teoria de es ala para o mo delo de Anderson prev ê que to dos os estados são lo alizados em sistemas de baixa dimensionalidade, ou seja, em para qualquer grau de desordem; e tam b ém, prev ê a p ossibilidade de

  d ≤ 2

  uma transição metal-isolan te para um sistema tridimensional. En tretan to, v ários trabalhos re en tes têm apresen tado transiçõ es metal-isolan te em sistemas de baixa dimensionalidade, para sistemas om desordem orrela ionada ou sistemas pseudo- aleatórios, resultados não previstos p elo mo delo de Anderson original.

  Em meados da dé ada de , v ários trabalhos en v olv endo mo delos tight-binding

  80

  unidimensionais om p oten iais in omensurá v eis rev elaram a presença de uma

  ν

  transição metal-isolan te. P or exemplo, um p oten ial do tip o

  ǫ = V cos k|n| n

  onde e é um n úmero irra ional en tre e apresen ta v ários asp e -

  k = 2πα α

  1

  tos in teressan tes

   ℄. P ara existem estados estendidos na faixa 0 &lt; ν &lt; 1 e estados lo alizados nas faixas e

  −2 + V &lt; E &lt; 2 − V 2 − V &lt; E &lt; 2 + V

  para , enquan to que to dos os estados são lo alizados

  −2 − V &lt; E &lt; −2 + V V &lt; 2

  para . P ara os estados eletr ni os são lo alizados se e estendi-

  V &gt; 2 ν = 1 V &gt; 2

  dos se . P ara to dos os estados são lo alizados, mas o o e ien te

  V &lt; 2 1 &lt; ν &lt; 2

  de Ly apuno v se apro xima de zero no en tro da banda. Finalmen te, para

  ν &gt; 2

  o sistema se omp orta omo um mo delo de Anderson unidimensional e to dos os estados são exp one ialmen te lo alizados.

  Em 1990, Dunlap e olab oradores

   ℄ atra v és do mo delo de tight-binding unidi-

  mensional, estudaram uma adeia omp osta p or uma liga binária. As energias dos sítios, nesse mo delo, p o dem assumir v alores e . Os sítios de energia sempre

  ǫ ǫ ǫ a b a

  apare em em pares , tendo probabilidade de apare er enquan to probabilidade

  p ǫ b

  . O termo de hopping en tre os primeiros vizinhos é onstan te e igual a . F oi

  1 − p t

  mostrado nesse trabalho que se o sistema apresen ta uma ener-

  

−2t &lt; ǫ − ǫ &lt; 2t

a b

  gia ressonan te em que a função de onda é deslo alizada. Uma série de trabalhos en v olv endo orrelaçõ es tip o dímeros surgiram desde en tão sempre om os mesmos resultados: div ergên ia do omprimen to de lo alização em algumas energias ríti- as

   ℄. A diferença fundamen tal en tre o mo delo de Anderson original e os

  mo delos de dímeros é a existên ia de orrelaçõ es nas energias dos sítios. W u e Phillips

   mostraram que a distribuição de desordem na p olianilina é des rita

  exatamen te p or este mo delo de dímeros aleatórios. A existên ia desses estados estendidos ressonan tes foram v eri adas p or Bellani et al

   em exp erimen tos om sup er-redes de dímeros aleatórios (GaAs-AlGaAs).

  Em 1998, Moura e Lyra

   ℄ estudaram um mo delo de Anderson unidimensional

  substituindo a desordem típi a do mo delo de Anderson p or desordem orrela- ionada. Neste trabalho o p oten ial foi es olhido a p ossuir um traço ara terísti o de um mo vimen to Bro wniano fra ionário, ujo a densidade esp e tral é dada p or:

  1

  (1.30)

  

S(k) ∝ ,

α k

  em que é a transformada de F ourier da função orrelação en tre dois p on tos

  S(k)

  . O parâmetro mede o grau de orrelação da sequên ia. P ara

  &lt; ǫ ǫ &gt; α α = 0 i j

  re up era-se uma sequên ia ompletamen te des orrela ionada. A tra v és do forma- lismo de grup o de renormalização, Moura e Lyra

   ℄, mostraram que para α &gt; 2

  este sistema p o de exibir uma fase de estados estendidos no en tro da banda. Esses resultados são imp ortan tes, p ois p ela primeira v ez foi apresen tada uma v erdadeira transição metal-isolan te em sistemas unidimensionais. Na mesma ép o

  a, em 1999, Izrailev e Krokhin

   mostraram tam b ém a existên ia de transição de Anderson

  para sistemas unidimensionais p ossuindo orrelação de longo al an e, atra v és do uso da teoria de p erturbação de segunda ordem. Ainda em 1999, resultados seme- lhan tes a esses foram obtidos p elo grup o de Izrailev e Krokhin

   Utilizando uma

  teoria de p erturbação de segunda ordem obtiv eram uma transição metal-isolan te em sistemas om desordem orrela ionada. A presença de uma v erdadeira fase metáli a em sistemas om orrelaçõ es de longo al an e na distribuição de desor- dem v em hamando a atenção da om unidade ien tí a e motiv ando m uitos estudos teóri os e exp erimen tais. P o demos itar a observ ação exp erimen tal de transmis- são de mi ro-ondas em guias retangulares om espalhadores orrela ionados

   ℄.

  Nesse exp erimen to, os espalhadores olo ados no guia de ondas, são parafusos mi- rométri os (v er gura

   <a href="gldoctocv5ek7h.html#31">) ujas</a> dimensõ es são orrela ionadas. Eles en on traram

  1

  2 uma faixa de frequên ias [ ℄ onde os mo dos são transmitidos.

  ω ,ω c c

  No on texto de ondas lássi as, uma série de trabalhos tem sido apresen tados Figura 1.6: Aparato exp erimen tal do guia de onda usado na referên ia ℄. mostrando a presença de transição de Anderson em sistemas unidimensionais. Em 2008, Sahimi e olab oradores

   apresen taram resultados para a propagação

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