UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA – PPGEEL MESTRADO PROFISSIONAL EM ENGENHARIA ELÉTRICA

  

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Ố PPGEEL

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENGENHARIA ELÉTRICA

JULIA GRASIELA BUSARELLO WOLFF

  

ANÁLISE COMPUTACIONAL DA DISTRIBUIđấO DE CAMPOS E CORRENTES E

RECONSTRUđấO DE IMAGEM EM UM SISTEMA DE TOMOGRAFIA DE

  

INDUđấO MAGNÉTICA

JOINVILLE

2011

JULIA GRASIELA BUSARELLO WOLFF

  

ANÁLISE COMPUTACIONAL DA DISTRIBUIđấO DE CAMPOS E CORRENTES E

RECONSTRUđấO DE IMAGEM EM UM SISTEMA DE TOMOGRAFIA DE

  

INDUđấO MAGNÉTICA

  Trabalho de dissertação apre- sentado ao curso de Mestrado Profissional em Engenharia Elétrica como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre.

  Orientador: Airton Ramos.

  

JOINVILLE, SC

2011 W855a Wolff, Julia Grasiela Busarello.

  Análise Computacional da Distribuição de Campos e Correntes e Reconstrução de Imagem em um Sistema de Tomografia de Indução Magnética. / Julia Grasiela Busarello Wolff; orientador: Airton Ramos. - Joinville, 2011.

  113 f.; il; 30 cm. Inclui referências. Dissertação de Mestrado - Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Departamento de Engenharia Elétrica, Joinville, 2011.

  1. Automação de Sistemas. 2. Engenharia Biomédica. 3. Modelagem numérica. 4. Tomografia de indução magnética. 5. Método das impedâncias. 6. Correntes eddy. 7. Obtenção de imagem.

  I. Ramos, Airton. II. Título.

  CDD629.8 DEDICATÓRIA

  A Elena . A Ísis Luíza . A Airton Ramos . AGRADECIMENTOS

  Ao professor Airton Ramos por ter viabilizado a pesquisa com campos magnéticos, pela disponibilidade na orientação e pelos laços de amizade desenvolvidos ao longo desses anos. Aos petianos Adriano de Oliveira Pires, Cleberson Carlos da Cunha, Thiago Baratto de Albuquerque e André Carlos Schmidt pela amizade e pelo auxílio no desenvolvimento da proposta. Ao bolsista de Iniciação Científica Heric Dênis Farias pelo auxílio no último ano de pesquisa através de con- versas, simulações e incontáveis fins de semana de estudo. Em especial, ao professor Fernando Deeke Sasse, que mesmo não estando diretamente ligado a este trabalho, contribuiu de maneira espontânea para a realização do mesmo. Ao professor Antônio Flávio Licarião Nogueira pela amizade, conversas e incentivo constante. Aos professores Aleksander Sade Paterno e Pedro Bertemes Filho que sempre estiveram dispostos a sanar dúvi- das mesmo não estando diretamente relacionadas ao trabalho de dissertação. Pela amizade e respeito que tenho por ambos.

  À professora Daniela Ota Hisayasu Suzuki por sua disponibilidade e compromisso em compor a Banca Exa- minadora sem a qual a conclusão dessa dissertação não seria possível. À minha mãe Elena Busarello pelo amor e carinho.

  E, finalmente, a todas as pessoas que de maneira direta ou indireta ajudaram a concluir esta etapa. PRODUđấO ACADÊMICA

  ARTIGOS COMPLETOS PUBLICADOS EM ANAIS DE CONGRESSO

  1. Wolff, J. G. B.; Ramos, A. “Cálculo de campos e correntes em um sistema de tomografia de indução mag- nética”. in: XXII Congresso Brasileiro de Engenharia Biomédica – CBEB, p. 5-8, Tiradentes - MG, 2010.

  2. Cunha, C. C. ; Pires, A. O. ; Wolff, J. G. B. ; Ramos, A. . Simulador computacional para cálculo de campo magnético e correntes eddy. in: I Congresso de Iniciação Científica e Pós-Graduação - Sul Brasil, Flori- anópolis - SC, 2010.

  3. Pires, A. O. ; Cunha, C. C. ; Wolff, J. G. B. ; Ramos, A. . Analisador de campos magnéticos para baixas condutividades: validação do software para um caso esférico. in: I Congresso de Iniciação Científica e Pós-Graduação - Sul Brasil, Florianópolis - SC, 2010.

  4. Pires, A. O. ; Cunha, C. C. ; Wolff, J. G. B. ; Ramos, A. . Uso do método das impedâncias para modelagem de correntes eddy em volumes condutores. in: XXIII Congresso Regional de Iniciação Científica e Tec- nológica em Engenharia - CRICTE, Joinville - SC, 2009.

  ARTIGO COMPLETO PUBLICADO EM PERIÓDICO INTERNACIONAL

  1. Ramos, A.; Wolff, J. G. B. “Numerical modeling of magnetic induction tomography using the impedance method”. Medical & Biological Engineering & Computing,v. 49, p. 233-240, 2011. DOI: 10.1007/s11517- 011-0733-3. RESUMO

  WOLFF, Julia Grasiela Busarello. Análise Computacional da Distribuição de Campos e Correntes e Recons- trução de Imagem em um Sistema de Tomografia de Indução Magnética. 2011. 114 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Engenharia Elétrica – Área de Concentração: Automação de Sistemas) – Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Joinville, 2011.

  A Tomografia de Indução Magnética é uma técnica em desenvolvimento para a visualização das propriedades eletromagnéticas de um objeto. Difere de outras técnicas de produção de imagens a partir de sinais eletromagnéti- cos por se tratar de um método não invasivo e sem contato cuja sua finalidade principal é a obtenção da distribuição de condutividade em objetos, o que encontra aplicações importantes na indústria e na medicina. Essa dissertação aborda o desenvolvimento do método das impedâncias em três dimensões e o seu uso na mode- lagem de um sistema de tomografia de indução magnética. Este método permite o cálculo de correntes induzidas em um objeto a partir de um campo magnético aplicado, usando aproximações válidas para as condições quase- estáticas de operação, o que permite a modelagem do meio por uma rede tridimensional de impedâncias. Assim, o método das impedâncias foi utilizado para o cálculo das correntes eddy enquanto que os campos primário e secundário foram calculados usando a lei de Biot-Savart. Um programa em linguagem C foi desenvolvido para realizar as simulações, obter as distribuições de corrente e campos e calcular a matriz de sensibilidade do sistema. Os resultados das simulações foram confrontados com modelos analíticos e com resultados experimentais. Dois métodos foram usados para obter imagens da distribuição de condutividade a partir de valores simulados da variação de fase nos sinais obtidos nos sensores do tomógrafo: a regularização de Tikhonov e um método original proposto neste estudo denominado aproximações sucessivas. Os métodos são discutidos e seus resultados com- parados. Verificou-se que ambos subestimam o valor da condutividade, mas fornecem imagens com boa correlação linear em relação ao objeto real. O método de aproximações sucessivas apresenta desempenho levemente superior.

  Palavras-chave: Tomografia de indução magnética. Método das impedâncias. Correntes eddy. Modelagem numérica. Obtenção de imagem.

  ABSTRACT

  WOLFF, Julia Grasiela Busarello. Computational Analysis of Current and Field Distribution and Image Reconstruction in a Magnetic Induction Tomography System. 2011. 114 f. Master’s Degree Dissertation (Mestrado Profissional em Engenharia Elétrica – Área de Concentração: Automação de Sistemas) – Universidade do Estado de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Joinville, 2011.

  Magnetic induction tomography is a developing technique for visualization of electromagnetic properties of an object. It differs from others imaging techniques from electromagnetic signals because it is a noninvasive and contactless method whose main purpose is to obtain the distribution of conductivity in objects, which has important applications in industry and medicine. This master’s degree dissertation discusses the development of the impedance method in three dimensions and its use in a modeling system of magnetic induction tomography. This method allows the calculation of induced currents in an object from an applied magnetic field, using valid approximations for quasi-static conditions of operation, which allows the modeling of the medium by a three-dimensional network of impedances. Thus, the impedance method was used for the calculation of eddy currents while the primary and secondary fields were calculated using the Biot-Savart Law. A simulation program in the C language has been developed to obtain the current and field distributions and calculate the sensitivity matrix of the system. The simulation has been compared with analytical models and experimental results. Two methods have been used to obtain images of the conductivity distribution from the simulated values of phase variation in signals from sensors in the tomograph: Tikhonov regularization and an original method proposed in this study called successive approximations. The methods are discussed and their results compared. It has been found that both underestimate the conductivity value, but they provide images with good linear correlation with respect to the real object. The successive approximations method has slightly better performance.

  Key-words: Magnetic induction tomography. Impedance method. Eddy currents. Numerical modeling. Image aquisition.

  LISTA DE FIGURAS 2.1 Parte frontal de um sistema TIM contendo um objeto-teste em seu interior. . . . . . . . . . . . . .

  47 3.12 Entrada de parâmetros para uma nova simulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  41

  3.8 Representação das correntes de ramo em um elemento de volume e do campo secundário induzido na bobina sensora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42

  3.9 Representação esquemática de um tomógrafo com dezesseis fontes e sensores bem como dos ele- mentos para o cálculo de sensibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  43 3.10 Fluxograma para o problema direto usando o método das impedâncias. . . . . . . . . . . . . . . .

  46 3.11 Tela principal do programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48 3.13 Visualização do sistema objeto-solenóide para as quatro possíveis configurações do software. . . .

  40

  48 4.1 Gráfico da curva L para obtenção do parâmetro ótimo de regularização. . . . . . . . . . . . . . .

  54

  4.2 Esquema de um tomógrafo planar contendo a malha de discretização, o objeto, as fontes e os sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 4.3 Fluxograma para o problema inverso usando a técnica de regularização de Tikhonov. . . . . . . .

  58 4.4 Pseudocódigo para o método das aproximações sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  60 5.1 Representação do sistema esfera-espira para validação do método das impedâncias. . . . . . . . .

  61 5.2 Distribuição angular da densidade de corrente em uma esfera condutora em três distâncias radiais.

  3.7 Representação bidimensional do circuito equivalente para o plano xz com as correntes de malha, potenciais, impedâncias e correntes de ramos. As direções e sentidos dos eixos coordenados no plano xz são definidas de modo que o eixo y esteja saindo perpendicularmente do plano da página.

  3.6 Representação bidimensional do circuito equivalente para o plano yz com as correntes de malha, potenciais, impedâncias e correntes de ramos. As direções e sentidos dos eixos coordenados no plano yz são definidas de modo que o eixo x esteja saindo perpendicularmente do plano da página.

  18 2.2 Distribuição radial dos solenóides geradores e sensores em um sistema TIM com oito canais. . . .

  33 3.2 Dois elementos de volume adjacentes em uma posição qualquer da malha de discretização. . . . .

  18

  2.3 Diagrama fasorial que representa o campo primário real e o campo secundário imaginário de um sistema TIM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 2.4 Diagrama de blocos de um sistema TIM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 2.5 Sistema TIM de campo paralelo projetado e testado na UMIST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 2.6 Obtenção das fórmulas do método de diferenças finitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  29 3.1 Representação da malha de discretização tridimensional usando o método das impedâncias. . . . .

  34

  40

  3.3 Circuito equivalente para a conexão entre um elemento de volume com seus vizinhos mais próximos. 35

  3.4 Representação do solenóide gerador de campo para modelagem do sistema TIM onde: ∆z = L

  s

  N

  e

  38

  3.5 Representação bidimensional do circuito equivalente para o plano xy com as correntes de malha, potenciais, impedâncias e correntes de ramos. As direções e sentidos dos eixos coordenados no plano xy são definidas de modo que o eixo z esteja saindo perpendicularmente do plano da página.

  63

  5.3 Distribuição angular da densidade de corrente azimutal em um eixo transversal da esfera passando pelo seu centro. (•) modelo analítico, (◦) cálculo numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  5.4 Distribuição de campo magnético primário em uma circunferência de raio 0,12 m do centro da esfera. (–) modelo analítico, (•) cálculo numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  5.5 Distribuição de campo magnético secundário em uma circunferência de raio 0,12 m do centro da esfera. (–) modelo analítico, (•) cálculo numérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  5.6 Esquema de montagem para a medição experimental da diferença de fase do campo magnético. . .

  66

  5.7 Diferença de fase do campo magnético ao redor do objeto no plano x = 0 em três frequências distintas: (-•-) calculado numericamente, (◦) medido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  5.8 Imagem de um cilindro de raio 0,04 m, altura 0,24 m, com centro nas coordenadas (0, 0, 0) e condutividade de 1 S/m. Imagem real, imagem obtida por Tikhonov e obtida por aproximações sucessivas; respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  70

  5.9 Imagem de um cilindro deslocado do centro com raio 0,04 e altura 0,24, com centro nas coorde- nadas (0; 0, 07; −0, 07) e condutividade de 1 S/m. Imagem real, imagem obtida por Tikhonov e obtida por aproximações sucessivas; respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  71

  5.10 Imagem de um cilindro deslocado do centro com raio 0,075 e altura 0,24, e centro nas coordenadas (0; −0, 03; 0, 03) e condutividade de 1 S/m. Imagem real, imagem obtida por Tikhonov e obtida por aproximações sucessivas; respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  72

  5.11 Imagem constituída por dois cilindros: um com raio 0,04 m e altura 0,24 m e centro nas coorde- nadas (0; 0, 07; −0, 07) e o outro com raio de 0,075 m e altura 0,24 m, centrado nas coordenadas (0; −0, 03; 0, 03), ambos com condutividade de 1 S/m. Imagem real, imagem obtida por Tikhonov e obtida por aproximações sucessivas; respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  73

  5.12 Imagem de um cilindro vazado, com raio interno de 0,045 m, raio externo de 0,09 m e altura 0,24 m, centrado na origem, com condutividade de 1 S/m. Imagem real, imagem obtida por Tikhonov e obtida por aproximações sucessivas; respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  74

  5.13 Comparação entre os índices de correlação linear para o métodos de Tikhonov e de Aproximações Sucessivas em função do número de pixels de raio do objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  76

  5.14 Comparação entre os índices de luminância média e de contraste para o métodos de Tikhonov e de Aproximações Sucessivas em função do número de pixels de raio do objeto. . . . . . . . . . . . .

  76

  5.15 Comparação entre os índices de qualidade de imagem para o métodos de Tikhonov e de Aproxi- mações Sucessivas em função do número de pixels de raio do objeto. . . . . . . . . . . . . . . . .

  77 LISTA DE TABELAS 2.1 Valores biológicos de condutividade elétrica [S/m]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  20 2.2 Valores biológicos de permissividade relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 5.1 Parâmetros de simulação para um objeto esférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  63 5.2 Erros quadráticos médios para os campos magnéticos e a densidade de corrente. . . . . . . . . . .

  65 5.3 Parâmetros de simulação para um objeto cilíndrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  66

  

LISTA DE SÍMBOLOS E UNIDADES

A – Potencial vetor magnético [A/m] ou [Wb/m].

  B – Vetor indução magnética [T] ou [Wb/m].

2 J – Corrente induzida [A/m ].

  E – Campo elétrico [V/m]. H – Campo magnético [A/m]. I – Corrente elétrica [A]. R – Resistência elétrica [Ω]. f – Frequência [Hz]. φ – ângulo azimutal. θ – ângulo polar. ε – Permissividade elétrica. ε – Permissividade elétrica do vácuo [F/m]. λ – Comprimento de onda. σ – Condutividade elétrica [S/m]. µ – Permeabilidade magnética. µ – Permeabilidade magnética do vácuo [H/m]. ω – Frequência angular [rad/s].

  SUMÁRIO

  1 INTRODUđấO 14 1.1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 1.1.1 OBJETIVO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16

  2 TOMOGRAFIA DE INDUđấO MAGNÉTICA 17 2.1 DEFINIđấO DA TÉCNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  17 2.2 APLICAđỏES DE SISTEMAS TIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23 2.2.1 TIM PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23 2.2.2 TIM PARA DIAGNÓSTICOS MÉDICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  25 2.3 MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS EM TIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28 2.3.1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE CAMPO . . . . . . . . . . . . . . .

  28 2.3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RECONSTRUđấO DE IMAGENS . . . . . . . . . .

  30

  3 MÉTODO DAS IMPEDÂNCIAS 33 3.1 INTRODUđấO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33 3.2 DISCRETIZAđấO E CIRCUITO EQUIVALENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33 3.3 CÁLCULO DO CAMPO PRIMÁRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  35 3.4 CÁLCULO DAS CORRENTES EDDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  39 3.5 CÁLCULO DO CAMPO SECUNDÁRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 3.6 CÁLCULO DE SENSIBILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  43

  3.7 FLUXOGRAMA DO ALGORITMO PARA O PROBLEMA DIRETO USANDO O MÉTODO DAS IMPEDÂNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 3.8 PROGRAMA DE SIMULAđấO USANDO O MÉTODO DAS IMPEDÂNCIAS . . . . . . . . .

  47

  4 RECONSTRUđấO DE IMAGENS 50 4.1 INTRODUđấO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.2 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR ELEMENTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.2.1 SOLUđấO DE UM SISTEMA LINEAR BEM-CONDICIONADO . . . . . . . . . . . .

  50 4.2.2 MATRIZ INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.2.3 MATRIZ IDENTIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.2.4 MATRIZ SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.2.5 MATRIZ TRANSPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 4.2.6 MATRIZ SIMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 4.2.7 MATRIZ ORTOGONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 4.2.8 NORMA EUCLIDIANA OU NORMA-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 4.2.9 MATRIZ ORTONORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51

  4.2.10 POSTO DE UMA MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51

  4.3 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE POSTO DEFICIENTE E REGULARIZAđấO EM TIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52 4.3.1 SISTEMAS MAL-POSTOS E MAL-CONDICIONADOS . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52 4.3.2 DECOMPOSIđấO EM VALORES SINGULARES (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52 4.3.3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53 4.3.4 MÉTODO DE REGULARIZAđấO DE TIKHONOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53 4.4 RECONSTRUđấO DE IMAGENS EM SISTEMAS TIM PARA APLICAđỏES BIOMÉDICAS .

  54 4.4.1 MALHA DE DISCRETIZAđấO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54

  4.5 FLUXOGRAMA DO ALGORITMO PARA O PROBLEMA INVERSO USANDO REGULARI- ZAđấO DE TIKHONOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  57 4.6 MÉTODO DE APROXIMAđỏES SUCESSIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  58 4.6.1 ALGORITMO PARA O MÉTODO DE APROXIMAđỏES SUCESSIVAS . . . . . . . .

  60

  5 SIMULAđỏES E ANÁLISES 61 5.1 INTRODUđấO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  61 5.2 MODELO ANALÍTICO PARA UMA ESFERA CONDUTORA . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  61 5.3 SIMULAđấO DO CASO ESFÉRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  62 5.4 SIMULAđấO DO CASO CILễNDRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  66 5.5 DISCUSSÕES REFERENTES AOS CASOS ESFÉRICO E CILÍNDRICO . . . . . . . . . . . .

  67 5.6 OBTENđấO DE IMAGENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  69 5.7 RESOLUđấO DAS IMAGENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  75 5.8 QUALIDADE DAS IMAGENS EM TRABALHOS PUBLICADOS . . . . . . . . . . . . . . . .

  77

  6 CONCLUSÕES

  79 CAPÍTULO 1

  INTRODUđấO

  Tomografia é a técnica para geração de imagens de secções transversais de um objeto. Ela permite obter a reprodução de uma secção do corpo humano com fins de diagnóstico [Rodrigues e Vitral, 2007]. Entre as várias modalidades de produção de imagens médicas, podem ser citadas as seguintes:

  • os métodos radiológicos: ressonância magnética, tomografia convencional, tomografia computadorizada por raios X, ultra-sonografia, endoscopia, raios X, angiografia e as tomografias de medicina nuclear, tais como, por exemplo, a tomografia computadorizada de emissão de fóton simples e a tomografia de emissão de pósitron [Hajnal e Hawkes, 2001];
  • as técnicas elétricas: tomografia de impedância elétrica, tomografia de capacitância elétrica, tomografia de resistência elétrica, tomografia de permeabilidade magnetostática e tomografia de indução magnética ou tomografia eletromagnética, ou ainda, tomografia de indutância mútua [Soleimani, 2005].

  Existe uma tendência crescente em desenvolver-se técnicas que minimizem o contato entre o paciente e o equipamento de medição, essas técnicas são denominadas não invasivas. Tomografia de Impedância Elétrica é considerada a técnica de tomografia elétrica mais antiga. Ela se baseia nas diferenças de impedância elétrica entre os tecidos para produzir uma imagem do corpo. Correntes senoidais são aplicadas ao objeto usando eletrodos e as tensões resultantes são medidas. Muitas aplicações dessa tecnolo- gia são desenvolvidas para uso nas áreas médica e industrial. O primeiro sistema de Tomografia de Impedância Elétrica para aplicações médicas foi produzido por Henderson and Webster, em 1978 [Henderson e Webster, 1978]. Outro sistema Tomografia de Impedância Elétrica foi proposto na área médica por D. C. Barber e B. H. Brown [Barber e Brown, 1984]. O algoritmo para a reconstrução de imagens foi desenvolvido em 1982 por esses mesmos autores [Barber e Brown, 1983]. Um sistema com 256 eletrodos que fornece imagens tridimensionais do câncer de mama foi descrito por Cherepenin et al. [Cherepenin et al., 2002].

  Tomografia de Capacitância Elétrica é uma técnica promissora para a visualização industrial de processos mul- tifases [Dickin et al., 1992]. O objetivo da Tomografia de Capacitância Elétrica é visualizar imagens da distribuição de permissividade de um objeto através de medições de capacitância elétrica entre os conjuntos de eletrodos lo- calizados ao redor do objeto. Um sistema de tomografia baseado na capacitância elétrica consiste de três partes: uma fonte de campo elétrico primário, os sensores eletrônicos de campo secundário, circuitos de processamento de sinais medidos e um computador para a reconstrução de imagens. A finalidade dos circuitos de processamento é selecionar as combinações de pares de eletrodos, medir a capacitância entre todas as possíveis combinações de pares de eletrodos e converter os valores de capacitância medidos em sinais digitais. Um computador é utilizado para realizar a aquisição de dados e fazer a interface com o algoritmo de reconstrução de imagens. A resolução espacial do sistema Tomografia de Capacitância Elétrica depende principalmente do número de sensores.

  Tomografia de Resistência Elétrica é uma técnica geofísica para obtenção de imagens do subsolo, utilizando correntes de condução. É um método que calcula a distribuição de resistividade elétrica do subsolo a partir de um grande número de medidas de resistência elétrica realizadas com eletrodos. A Tomografia de Resistência Elétrica foi proposta em 1978 por Henderson e Webster, para visualização médica e, por Lytle e Dines, também em 1978, como ferramenta de visualização geofísica [Daily e Ramirez, 2000]. A corrente elétrica de baixa frequência é inje- tada no subsolo através de um conjunto de eletrodos, e a distribuição de potencial resultante é medida. Uma grande variedade de diferentes orientações de fontes e sensores são utilizadas para amostrar o volume do subsolo a partir de muitos pontos de vista diferentes. Com esses dados, um modelo computacional da distribuição de resistividade elétrica produz, dentro de uma tolerância pré-determinada, imagens do potencial elétrico medido. Ela está intima- mente relacionada com a Tomografia de Impedância Elétrica médica, e matematicamente, o problema inverso é o mesmo. Aplicações da Tomografia de Resistência Elétrica inclui a prospecção mineral, o acompanhamento do fluxo das águas subterrâneas e a arqueologia. Em processos industriais, a Tomografia de Resistência Elétrica pode ser usada de forma semelhante à Tomografia de Impedância Elétrica médica para a visualização da distribuição de condutividade em misturadores e tubos.

  A técnica de Tomografia Permeabilidade Magnetostática tem como objetivo reconstruir a distribuição de per- meabilidade de um objeto usando dados de medição magnetostáticos. Os dados para a reconstrução da imagem são as medições do campo magnético externo à superfície do objeto devido a uma aplicação de campo magne- tostático [Soleimani, 2005]. Dadas as componentes normais e tangenciais do campo magnético na superfície, as distribuições de permeabilidade isotrópica interna podem ser unicamente definidas [Somersalo et al., 1992]. Para uma dada configuração de bobinas geradoras e sensoras, tal como em Tomografia de Indução Magnética, o campo primário pode ser gerado usando um ímã permanente ou um solenóide. O campo magnético estático resultante pode ser detectado usando um magnetômetro. Na detecção de um campo magnético senoidal, como é o caso de Tomografia de Indução Magnética, utiliza-se um sensor que pode ser magnetoresistivo, Hall ou mesmo uma bobina magnética. É uma técnica de visualização muito similiar à Tomografia de Indução Magnética. As apli- cações de Tomografia de Permeabilidade Magnestostática com campos magnetostáticos apresentadas na literatura são na área de inspeção de materiais, como por exemplo, a verificação de estruturas de aço utilizadas na construção civil para reforçar o concreto. Essas estruturas são, às vezes, danificadas por soluções corrosivas que modificam a permeabilidade magnética do aço [Gaydecki et al., 2000] e [Quek et al., 2002].

  Tomografia de Indução Magnética é a mais recente técnica para visualização das propriedades eletromagnéti- cas passivas (PEP’s), permissividade (ε), permeabilidade (µ) e condutividade (σ), em um objeto não-homogêneo [Griffiths, 2001].

  Ela foi relatada pela primeira vez entre os anos de 1992 e 1993 por [Yu et al., 1993] e [Al-Zeibak et al., 1993]. Um sistema de Tomografia de Indução Magnética é composto por solenóides geradores de campo magnético denominados fontes e por solenóides que medem os campos gerados denominados sensores. A técnica consiste em injetar corrente alternada no objeto através de uma fonte gerando um campo primário. Esse campo induz correntes no interior do objeto e estas geram um campo secundário. A diferença de fase e de amplitude do campo secundário em relação ao campo primário é medida por um conjunto de sensores dispostos ao redor do objeto sob análise. O maior desafio em Tomografia de Indução Magnética é reconstruir imagens da condutividade ou da permeabilidade de um objeto de forma adequada e confiável, utilizando técnicas de regularização. A técnica mais conhecida e uti- lizada na literatura é a técnica de regularização de Tikhonov. Esse trabalho baseou-se nessa técnica para reconstruir as imagens de condutividade de um objeto cilíndrico visando a aplicação em um sistema TIM planar. A vantagem na utilização de um sistema de Tomografia de Indução Magnética em relação aos demais sistemas de tomografia elétrica está no fato de não haver contato elétrico direto dos eletrodos com o objeto, permitindo a obtenção de medidas sem interferência e, portanto, mais confiáveis. Outras características a serem consideradas são: o baixo custo dos circuitos eletrônicos que compõem o hardware, a rapidez na produção da imagem já que se trata de uma técnica de baixa resolução, não há emissão de radiação do tomógrafo para o objeto sob análise, como ocorre nas técnicas de visualização radiológica, evitando assim, riscos à saúde.

1.1 OBJETIVOS

  1.1.1 OBJETIVO GERAL

  O objetivo geral desse trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta de modelagem numérica direta e inversa para ser aplicada em um sistema de Tomografia de Indução Magnética planar. Nesse contexto, entende- se como modelagem direta o cálculo dos campos primário e secundário bem como das correntes induzidas. A modelagem inversa é a obtenção de imagens da distribuição de condutividade a partir de valores de campo medidos ou estimados numericamente.

  1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

  Os objetivos específicos do trabalho são:

  1. Avaliar o uso da lei de Biot-Savart e do método das impedâncias para simular numericamente as distribuições de correntes induzidas e dos campos primário e secundário em objetos condutores;

  2. Desenvolver um programa para o cálculo de campos, correntes e sensibilidade em um sistema de Tomografia de Indução Magnética;

  3. Desenvolver um programa computacional para obter imagens bidimensionais da distribuição de condutivi- dade em um objeto, usando medições da diferença de fase entre os campos primário e secundário, em um sistema de Tomografia de Indução Magnética planar.

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO O trabalho está organizado em seis capítulos que serão brevemente descritos.

  O Capítulo 1 introduz os principais conceitos e apresenta os objetivos do trabalho. O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre tomografia de indução magnética. O Capítulo 3 apresenta o Método das Impedâncias tridimensional e faz uma revisão sucinta dos elementos da teoria eletromagnética clássica, tais como: potencial elétrico, campos e potenciais magnéticos, correntes de condução e de deslocamento.

  O capítulo 4 apresenta uma revisão das técnicas de regularização descritas na literatura para reconstrução de imagens com o objetivo de resolver o problema inverso em Tomografia de Indução Magnética. No capítulo 5 são apresentados os resultados de simulações e as discussões sobre a adequação dos métodos desenvolvidos. Para finalizar, o Capítulo 6 traz as conclusões e as propostas para trabalhos futuros. CAPÍTULO 2 TOMOGRAFIA DE INDUđấO MAGNÉTICA

  Nos últimos vinte anos houve uma grande produção acadêmica sobre TIM. O interesse nessa modalidade de tomografia surgiu devido às suas características, como por exemplo, a rápida produção de imagens, baixo custo de implementação dos circuitos eletrônicos, além de ser não invasiva. Este capítulo apresenta as definições e conceitos empregados em TIM, suas aplicações na área industrial e na área médica, bem como uma revisão sobre alguns dos sistemas desenvolvidos por diferentes grupos de pesquisa.

2.1 DEFINIđấO DA TÉCNICA

  A tomografia de indução magnética também conhecida como tomografia eletromagnética (TEM) ou tomografia de indutância mútua (TIM) é uma técnica não invasiva que vem sendo estudada e implementada desde 1992 e cuja finalidade é a visualização das propriedades eletromagnéticas passivas, como a distribuição de condutividade (σ), de permissividade (ε) ou de permeabilidade (µ) no interior de um objeto [Griffiths, 2001].

  A técnica baseia-se na detecção da perturbação em um campo magnético primário, por um objeto condutor, através de sensores eletromagnéticos [Griffiths, 2001]. O sistema gerador de campo injeta uma corrente alternada em uma bobina fazendo surgir um campo magnético primário que, por sua vez, induz correntes eddy no objeto. Essas correntes criam um campo secundário de baixa intensidade quando comparado ao campo primário e ambos os campos estão defasados entre si. O campo secundário também pode ser produzido pela corrente de deslo- camento, no caso de um objeto dielétrico ou pelo alinhamento de dipolos magnéticos, no caso de um material ferromagnético.

  A Figura 2.1 mostra um sistema TIM típico extraído de [Korjenevsky et al., 2000]. O sistema é composto por três blocos, que são: 1. um conjunto de bobinas geradoras e sensoras, igualmente espaçadas ao redor do objeto; 2. um circuito de controle, aquisição e processamento de sinais e; 3. um computador remoto com algoritmo de reconstrução de imagens da distribuição de propriedades no inte- rior do objeto. Figura 2.1: Parte dianteira de um sistema TIM contendo um objeto-teste em seu interior, onde: 1 – bobinas indu- toras e sensoras, 2 – blindagem eletromagnética, 3 – módulos de transmissão e recepção [Korjenevsky et al., 2000].

  A Figura mostra os circuitos eletrônicos utilizados para geração e medição dos sinais e a blindagem eletro- magnética onde as bobinas sensoras e geradoras de campo estão radialmente dispostas. A garrafa preenchida com líquido condutor, localizada no interior do equipamento, representa o objeto a ser visualizado.

  Na ilustração da Figura 2.2 mostra o esquema de um sistema TIM com oito canais de geração e sete canais de medição, dispostos na direção radial, simetricamente ao redor do objeto. Esta figura é meramente ilustrativa pois o sistema simulado neste trabalho utiliza dezesseis canais de geração e quinze canais de medição, permitindo duzentas e quarenta medições independentes de campo e de distribuição de correntes, para um objeto situado no centro do tomógrafo.

  

3

Bobinas sensoras

  4

  2 Bobina Geradora de Campo Primário Objeto

  1

σ μ ε , ,

  5

  8

  6

  

7

Figura 2.2: Distribuição radial dos solenóides geradores e sensores em um sistema TIM com oito canais. Adaptado de [Brideson, 1999].

  A bobina 1 é responsável pela excitação do sistema ao mesmo tempo em que as bobinas 2 a 8 medem a amplitude e a fase do campo magnético total. As medições são realizadas para oito posições da bobina geradora de campo e são armazenadas em um programa que utiliza esses dados na reconstrução da imagem. No interior do objeto circulam as correntes eddy devido à indução magnética gerada pela fonte. O campo magnético total é o resultado da soma vetorial do campo aplicado, também chamado de campo primário e do campo gerado pelas correntes eddy, denominado perturbação ou campo secundário.

  Para objetos ferromagnéticos, o campo secundário está em fase com o campo primário. Para objetos condutores

  

  não magnéticos, o campo secundário está defasado de 90 em relação ao campo primário [Griffiths, 2001]. No caso de material biológico a Figura 2.3 mostra o diagrama fasorial que representa a amplitude do campo magnético total B composto pelos campos primário real B e secundário imaginário ∆B . O ângulo ϕ representa a variação de

  t r r fase do campo magnético total devido às correntes induzidas no objeto. O campo secundário é cerca de duas a quatro ordens de grandeza menor que o campo aplicado [Ramos e Wolff, 2011]. Uma vez que os dois campos estão presentes e apenas o campo secundário deve ser medido, a diferença de intensidade entre os campos implica uma grande dificuldade técnica no projeto e construção de sensores e de circuitos de instrumentação para detectar a perturbação no campo.

  Im 2 2 2

  • + B = B t r ΔB r

  ΔB r φ r Re B

  Figura 2.3: Diagrama fasorial que representa o campo primário real e o campo secundário imaginário de um sistema TIM. Adaptado de [Griffiths, 2001].

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