Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis Com Curvatura Total Finita

  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis

Com Curvatura Total Finita

Robério Batista da Rocha

  

Maceió, Brasil

30 de Março de 2010 ROBÉRIO BATISTA DA ROCHA Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis com Curvatura Total Finita

  Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferen- cial submetida em 30 de março de 2010 à Banca Examinadora, desig- nada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante Maceió, Brasil 30 de Março de 2010

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale R672h Rocha, Robério Batista da.

  Hipersuperfícies mínimas completas estáveis com curvatura total finita / Robério Batista da Rocha, 2010. 99 f. Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

  Instituto de Matemática. Maceió, 2010. Bibliografia: f. 97-98. Índices: f. 99.

  1. Ricci, Curvatura de. 2. Curvatura total finita. 3. Hipersuperfícies mínimas.

  4. Morse, Índice de. 5. Operador de estabilidade. 6. Catenóide. 7. Segunda forma fundamental. I. Título.

CDU: 514.772.2

  Aos meus pais Delvani e José, aos meus irmãos Emanuel, Rogério e Maura e a minha querida esposa Maiara.

  

“A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito

de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então,

na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.” Jacques Bernoulli

  

AGRADECIMENTOS

  Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, saúde, coragem e determinação diante de tantas dificuldades que a vida nos oferece. Aos meus pais Delvani e José pelo amor, carinho e dedicação. Bem como aos meus irmãos

  Emanuel e Rogério por serem minha fonte de inspiração, e a minha irmã Maura pelo carinho que sempre tivera por mim.

  A todos os meus tios e primos que de algum modo me deram força para esta vitória. Em especial, agradeço a Ivania e Ivone as quais estiveram sempre dispostas a me ajudar. A minha esposa Maiara Souza Mendes, que com determinação, amor e carinho esteve sempre ao meu lado me dando força e incentivo para chegar até o final deste trabalho. Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia e aos colegas do mestrado em Matemática da UFBA. Em especial, aos professores Isaac Lázaro e Enaldo Vergasta pela motivação, aos amigos João Paulo, Roberto, Teles e Wendell pelo companheirismo e Ângela Soldatelli pelo apoio neste final de dissertação.

  Ao professor Jorge Ferreira, pelo incentivo e pela confiança. Ao meu orientador, Prof. Marcos Petrúcio, pela sua orientação, confiança, determinação e por acreditar que eu seria capaz de ir até o final deste trabalho. Agradeço-o também por me motivar a continuar na busca pelo conhecimento.

  Ao professor Feliciano Vitório, que com muita competência, dedicação e paciência me orientou no último capítulo, na correção e na apresentação deste trabalho. Agradeço-o ainda por me incentivar a seguir nos estudos.

  Aos professores Hilário Alencar e Jorge Herbert de Lira, pelas sugestões, correções e dicas de escrita, bem como por concordarem em participar da banca. Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas e aos colegas de mestrado em Matemática da UFAL. Em especial, ao professor Adán Corchó pelo incentivo e pelo apoio como coordenador do programa e aos colegas Fábio, Kennerson, Rodrigo, Viviane, Natália e Alex que estiveram sempre dispostos a me ajudar.

  Ao Instituto Federal de Ciência e Tecnologia de Alagoas. Em especial, às direções e às coordenações do campus Marechal Deodoro que com muita flexibilidade foram essenciais para esta vitória. Bem como a todos os colegas de trabalho que direta ou indiretamente deram suas contribuições.

  Por fim, agradeço a todos que de alguma maneira contribuíram para que esse momento se concretizasse.

  

RESUMO

  O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade. Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados, que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima

  2 completa estável imersa no espaço Euclidiano com a norma L da segunda forma fundamental

  3 finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L da segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3 n 7.

  ≤ ≤

  Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis

  3 no R obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice igual a um.

  Palavras-chave: Curvatura de Ricci, Curvatura Total finita, Hipersuperfícies Mínimas, Índice de Morse, Operador de Estabilidade, Catenóide, Segunda Forma Fundamental.

  

ABSTRACT

  The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in the Euclidean space related to the stability operator. Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations of area and also the demonstration of the Simons’ inequality. These results (which are basic results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng’s theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean

  2 space with finite L norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include

  3 in this dissertation a similar result with the L norm of the second fundamental form. This last result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note that proof applies to 3 n 7.

  ≤ ≤

  3 We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and Enneper’s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one.

  Keywords: Ricci Curvature, Finite Total Curvature, Minimal Hypersurfaces, Morse Index, Stability Operator, Catenoid, Second Fundamental Form.

  

SUMÁRIO

  11

  15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Hipersuperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  32

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  56

  

  . . . . . . . . . . . . . 56

  

  . . . . . . . . . . . . . 63

  

  66

  

  67

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

  

  90

  92

  94

  

INTRODUđấO

  • n n

  1 R Seja x : M uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientada

  →

  n n

  • n

  1

  1 M = M (uma hipersuperfície em R ) e seja A a sua segunda no espaço Euclidiano R forma fundamental. Se denotarmos por o funcional área, então a fórmula da primeira

  A

  variação da área estabelece que

  

Z

  D E

  ~ ′

  ( n T , H dM , A ) = −

  M

  ~

  onde T é o campo variacional associado a variação de x e H é o vetor curvatura média de M . Como uma consequência deste resultado, as hipersuperfícies mínimas são caracterizadas como pontos críticos para o funcional área, ou seja, a curvatura média dessas hipersuperfícies

  é identicamente nula.

  A teoria das superfícies mínimas tem sua origem com as pesquisas de J. L. Lagrange, em 1760 (veja p. 236). Desde então recebeu colaborações de importantes matemáticos, como por exemplo, Euler, Gauss, Riemann, Plateau, Meusnier, Scherk, Schwarz, Enneper, Weierstrass, Bernstein, Darboux, Douglas, Radó; e mais recentemente, Nitsche, Chern, de Giorgi, Giusti, Miranda, Bombieri, Osserman, Schoen, Simons, Yau, Simon, Gray, White, Bryant, Fischer-Colbrie, Ros, Peréz, Barbosa, do Carmo, Peng, Rosenberg, Meeks, Minicozzi, Colding, Nadirashivili, para citar alguns.

  A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula

  Z Z

  2

  2

  ′′ ( )( f ) = f ∆ f A f dM f L f dM , A {− − | | } = −

  M M

  2 onde ∆ é o Laplaciano de M, A quadrado da norma da segunda forma fundamental e

  | |

  ∞ ∞

  2 ∆

  ( ( ) =

  L : C M C M dado por L A é chamado de operador de estabilidade(ou operador

  ) → + | |

  ∞

  R (

  de Jacobi ). O operador L induz de maneira natural a forma quadrática Q : C M definida

  ) →

  por

  

Z

  Q ( f f L f dM ,

  ) = −

  M que atua no espaço das funções suaves em M. Neste caso, o índice de Morse da hipersuperfície

  ∞ M , denotado por Ind ( M ) , é definido como a dimensão máxima do subespaço V de C ( M ) em que Q é negativa definida. Equivalentemente, Ind ( M ) é o número de autovalores negativos do operador L contados com multiplicidade (veja

  ∞

  ( ( )

  Diremos que uma hipersuperfície mínima é estável se Q f 0 para todo f C M . Em

  ) ≥ ∈ ( ) =

  termos do índice, estabilidade significa que Ind M 0.

  É bem conhecido que gráficos mínimos no espaço Euclidiano são hipersuperfícies mínimas estáveis. A despeito deste fato, temos o famoso problema de Bernstein, a saber, "uma

  • n

  1

  hipersuperfície mínima que é um gráfico inteiro no R é um hiperplano?". Este problema foi mostrado ser afirmativo para n 7 e negativo para n 8 (veja Diante da solução do

  

≤ ≥

  problema de Bernstein, a seguinte pergunta é natural: quais são as hipersuperfícies mínimas

  • n

  1 completas estáveis no R ? Este problema foi resolvido no caso em que n = 2 por do Carmo- Peng (veja Eles mostraram que tal superfície é o plano. Mas será que toda hipersuperfície mínima completa e estável é um hiperplano? Para n 8 a solução do problema de Bernstein fornece a existência de

  ≥

  hipersuperfícies que são gráficos mínimos completos, porém não são hiperplanos. No caso em que 3 n 7 este problema encontra-se completamente em aberto.

  ≤ ≤

  Nesta dissertação, apresentaremos a demonstração de um outro teorema de do Carmo- Peng, feito em 1980 (veja onde este problema é resolvido com uma condição sobre o decaimento da norma da segunda forma fundamental, mais precisamente:

  • n n

  1 R

Teorema A (do Carmo - Peng). Seja x : M uma hipersuperfície mínima completa e estável.

  → Assuma que

  R

  2 A dM

  

| |

  B R lim = 0,

  • +

  2 2q

  →

  R R

  r

  2

  < <

  onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a R ⊂ n

  • n

  1

  

R

( segunda forma fundamental de x. Então x M é um hiperplano.

  ) ⊂

2 Como para hipersuperfícies mínimas A

  2K, onde K é a curvatura escalar, temos como

  | | = −

  consequência desse Teorema que hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura total finita é um hiperplano.

  Usando as técnicas da demonstração do Teorema A, provaremos o seguinte resultado n n

  1

  • R Teorema B (Li-Wei). Seja x : M (

  3 n 7) uma hipersuperfície mínima completa e

  → ≤ ≤

  estável. Assuma que

  R

  3 A dM

  

| |

  B R

  =

  lim 0, 1 2q +

  ∞ R

  → R

  r

  2

  < <

  onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrado em algum ponto de M e A a R ⊂ n

  • n

  1 R segunda forma fundamental de x. Então x ( M é um hiperplano.

  ) ⊂ =

  Este teorema foi provado por Li-Wei em 2006 (veja apenas para n 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3 n

  7.

  ≤ ≤

  Para finalizar esse trabalho, faremos um estudo sobre superfícies mínimas completas M

  3 com índice finito em uma variedade Riemanniana N (veja Mostraremos que se M tem índice finito então M é estável fora de um conjunto compacto e mostraremos também que

  2 tem índice finito se, e somente se, existe um número finito de autofunções em L ( ) com

  M M autovalores negativos de tal forma que o operador L é não-negativo no complemento ortogonal

  3 do espaço gerado pelas autofunções. No caso em que N é o espaço Euclidiano R , provaremos que para qualquer superfície mínima completa e orientável a condição de que M tenha índice finito é equivalente a condição de que M tenha curvatura total finita. Mostraremos que se M é uma superfície mínima completa então M é conforme a uma superfície de Riemann menos um número finito de pontos. No caso em que a curvatura escalar de N é limitada inferiormente por uma constante positiva então M será compacta. Se N tem curvatura de Ricci não-negativa,

  2

  3 mostraremos que A é integrável em M e isso implica o resultado para R . Esses resultados

  | | foram estudados, em 1985, por Fischer-Colbrie (veja Para finalizar este trabalho, mostraremos que "O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientáveis com

  índice igual a 1."

  

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

  Neste capítulo, introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de Geometria Riemanniana com o intuito de fixar a notação, admitindo que o leitor esteja familiarizado com os pré-requisitos necessários. Ao longo desta dissertação, a palavra

  ∞ diferenciável sempre significará de classe C . Para este capítulo as principais referências são

1.1 Tensores

  A ideia de tensor é uma generalização natural da ideia de campos de vetores, e o ponto importante é que, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente. n

  ( )

  Seja M uma variedade diferenciável orientada de dimensão n. Vamos denotar por X M o ∞

  ( )

  conjunto dos campos diferenciáveis em M e por C M o conjunto das funções diferenciáveis ∞ em M. Convém observar que X ( ) é um módulo sobre o anel C ( ) , isto é, X ( ) tem uma

  M M M ∞ estrutura linear quando tomamos como “escalares” os elementos de C ( M ) .

  Definição 1.1.1. Um tensor covariante T de ordem r é uma aplicação multilinear

  ∞

  X

  ( ( ) ( ) T : X M ... M C M .

  

) × × →

  | {z } r f atores

  X

  ( ) ( )

  Isto quer dizer que, dados Y , ..., Y M , T Y , ..., Y é uma função diferenciável em M, e T é r ∈ r

  1

  1 linear em cada argumento, ou seja,

  ( ) = ( ) + ( + )

  T Y , ..., f X gY , ..., Y f T Y , ..., X , ..., Y gT Y , ..., Y , ..., Y 1 i i r 1 i r 1 i r

  ∞

  X para todo i = 1, ..., r, X , Y , ..., Y ( M ) e f , g C ( M ) . r i

  1 ∈ ∈ O tensor T é diferenciável em p M se, escolhido um referencial móvel E , . . . , E , n

  ∈ {

  1 } as componentes de T em relação a esse referencial são diferenciáveis em p. O tensor T é diferenciável em M se é diferenciável em cada p M . No decorrer desta dissertação, diremos

  ∈ somente que T é um tensor, omitindo a palavra diferenciável.

  n

  ( )

  Para o que se segue, M , g é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão finita n 2, munido da métrica Riemanniana g, ou simplesmente , , a qual denotaremos apenas por

  ≥ h i M e com a Conexão de Levi-Civita de M denotada por .

  ∇

  Analogamente a um campo de vetores, um tensor pode também ser derivado. A seguinte definição introduz a noção de derivada de tensores.

  Definição 1.1.2. Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante

  T de T é um tensor de ordem

  ∇

  • 1 ) ( r dado por

  T ( Y , ..., Y , Z ) = Z ( T ( Y , ..., Y T Y , ..., Y ... T ( Y , ..., Y ) , r r r r

  ∇

  1 1 )) − (∇ Z 1 ) − − 1 ∇ Z

  X para todo Y , ..., Y , Z ( M ) . r 1 ∈

  X

  ( )

  Para cada Z M a derivada covariante T de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado

  ∈ ∇ Z

  por

  ( ( ) T Y , ..., Y T Y , ..., Y , Z . ∇ Z r ) = ∇ r

  1

  1 Antes de prosseguir, vamos relembrar alguns operadores diferenciais que serão usados com frequência no decorrer desta dissertação.

  ∞

  ( )

  Dada uma função f C M , definimos o gradiente de f como sendo o único campo

  ∈

  vetorial : M dado por f TM

  ∇ →

  f ( p ) , X d f ( X ) , p M , X T M . p p

  h∇ i = ∈ ∈ Em outras palavras, f é o dual da forma d f na métrica Riemanniana. ∇

  Considerando um referencial ortonormal E , . . . , E em um aberto U M podemos

  { n } ⊂

  1 escrever, n d f = f w ,

  ∑ i i

  i =

  1

  =

  onde w , i 1, ...n, são as n 1-formas duais associadas ao referencial E , . . . , E , ou seja, i

  { n }

  1

  ( ) = = ( )

  w E δ . A função f é chamada a derivada de f na direção E . Além disso, f d f E , isto i j ij i i i i

  é, n f = f E .

  

∇ i i

  i =

  1 X

  ( )

  Outro conceito importante é o de divergência de um campo. Dado X M , definimos a

  ∈ R

  divergência de X como sendo a aplicação divX : M dada por

  →

  divX ( p ) = Tr ( Y ( p X )( p )) ,

  ) 7→ (∇ Y

  onde tr ( Y ( p X )( p )) é o traço da aplicação linear Y ( p X )( p ) .

  ) 7→ (∇ Y ) 7→ (∇ Y Sejam X um campo diferenciável de vetores em M e E , . . . , E um referencial geodésico.

  n

  {

  1 } n

  = ∑

  Escrevendo X x E temos que

  = k k

  k

  1 n

  =

  divX X , E E , E (1.1)

  ∑ h∇ E j ih i j i

i

  i = ,j

  1 n n

  =

  x E , E E , E

  ∑ h∇ E ∑ j ih i j i i k k i = k =

  ,j

  1

  1 n

  = ( )

  E x E , E E , E

  ∑ h ih i

  i k k j i j i = ,j,k

  1 n

  = E ( x ) ∑

  i i i = 1 n

  =

  x ,

  ∑ i

  ;i i = 1 onde usamos a seguinte notação, x = E ( x ) . i ;i i i

  ∞ Agora, dada uma função f C ( M ) , definiremos o Laplaciano de f como sendo a aplicação

  ∈

  ∞

  R

  : M dada por ∆ f ( p ) = div f )( p ) . Observe que ∆ f C ( M ) e tomando o ∆ f

  → (∇ ∈

  referencial geodésico E , . . . , E podemos expressar o Laplaciano de f por

  { n }

  1

  = )( )

  ∆ f div f p

  (∇

  n

  = div ( f E ) ∑ i i

  =

  i

  1 n

  

= f .

  

  ii i =

  1 ∞ ∞

  O operador linear ∆ : C ( M C ( M ) , dado por

  ) → = div f ) ,

  ∆ f

  (∇ é chamado de Laplaniano de M.

  Finalmente, o Hessiano de f , que denotaremos por Hess f , é a forma bilinear simétrica ∞

  X

  ( ( ( )

  Hess f : X M M C M

  ) × ) →

  dada por Hess f ( p )( X , Y ) = ( XY f )( p Y ( f )( p ) .

  ) − ∇

  X R Observe que sendo f : M uma função diferenciável. Podemos considerar f como

  →

  sendo um tensor covariante de ordem 0, o qual denotaremos por f . De forma geral,

  ∇

  k 1 + podemos definir indutivamente o tensor covariante f da seguinte forma:

  ∇

  • + k k

  1

  )

  f f ,

  ∇ = ∇(∇

  ou seja,

  • k

  1 k

  ( , ..., Y , Z ) = ( , ..., Y ))

  f Y Z f Y

  ∇

  1 k (∇ 1 k k k f Y , ..., Y ... f ( Y , ..., Y ) .

  −∇ (∇ Z

  1 k ) − − ∇ 1 ∇ Z k

  1

  2 X Assim, por exemplo, dados X, Y ( M ) temos que f e o f coincidem,

  ∈ ∇ ∇

  ∈

  X respectivamente, com o gradiente e o Hessiano de f . De fato, dados X, Y ( M )

  1

  ( ) = ) = ( )

  f

  X X f d f

  X

  ∇ (∇

  

f .

  k

  f ∆g

  =

  E k g

  1 f E k

  =

  k

  ∑

  1 E k gE k f + n

  =

  k

  ∑

  1 E k gE k f + n

  =

  ∑

  ∑

  E k f + n

  1 gE k

  =

  k

  ∑

  n

  =

  k f + f E k g )

  ( gE

  1 E k

  =

  k

  ∑

  n

  k =

  ) =

  i .

  2 é o quadrado da norma do campo

  |

  f

  |∇

  2 , (1.2) onde

  |

  f

  f ∆ f

  =

  2

  2 ∆ f

  1

  Em particular,

  g

  1 E k gE k f

  ∇

  f ,

  h∇

  2

  = f ∆g + g∆ f +

  E k

  E k f k

  1 g k

  k =

  ∑

  n

  f ∆g

  =

  n

  p

  e

  X

  ∇ f .

  1 f apenas por

  ∇

  Por simplicidade, denotaremos

  ) .

  f

  (

  X

  ) − ∇ Y

  f

  (

  YX

  ) =

  1 Y

  Lema 1.1.1. Seja f ∈

  (∇

  1 f

  )) − ∇

  X

  (

  1 f

  (∇

  Y

  ) =

  X , Y

  (

  2 f

  ∇

  O lema a seguir é um fato bem simples e incluiremos aqui a sua demonstração para completude do texto.

  C ∞

  )(

  1 , ..., E n

  f g

  (

  1 E k E k

  k =

  ∑

  n

  ) =

  p

  )(

  f g

  (

  em uma vizinhança de p. Então, ∆

  }

  E

  (

  {

  M e escolha um referencial ortonormal geodésico

  ∈

  Demonstração. Fixe p

  i .

  g

  ∇

  f ,

  h∇

  2

  ( f g ) = f ∆g + g∆ f +

  . Então ∆

  )

  M

  • g∆ f
  • 2
  • g∆ f
  • 2
  • |∇

1.2 Curvaturas

  Nesta seção, recordaremos os conceitos básicos de curvatura em uma variedade Riemanniana. A curvatura, intuitivamente, mede o quanto localmente uma variedade Riemanniana deixa de ser o espaço Euclidiano. Dando sequência, definiremos mais especificamente a curvatura seccional, a curvatura de Ricci e a curvatura escalar. Nossa principal referência foi o livro

  

Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa

  X X

  ( ) ( ) ( ( )

  a cada par X , Y M uma aplicação R X , Y : X M M dada por

  ∈ ) →

  X R ( X , Y ) Z Z Z Z , Z ( M ) ,

  = ∇ Y ∇

  X − ∇ X ∇ Y + ∇ [ X ] ∈ ,Y onde [ X , Y ] = XY YX é o Colchete de Lie.

  −

  Observe que é frequente na literatura encontrarmos a definição de curvatura que difere da definição acima por sinal, (veja por exemplo A seguir, enunciaremos algumas das principais propriedades de curvatura.

  Proposição 1.2.1. A curvatura R de uma Variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades:

  X (i) R é bilinear em X ( M ( M ) , isto é,

  ) ×

  • ( ) = ( ) + ( )

  R f X gX , Y f R X , Y gR X , Y

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  ( ) = ( ) + ( + )

  R X , f Y gY f R X , Y gR X , Y

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 ∞

  X

  ( ) ( )

  f , g C M e X , X , Y , Y M ;

  ∈

  1

  2

  1 2 ∈

  X X

  ( ) ( ) ( ( )

  (ii) Para todo X , Y M o operador curvatura R X , Y : X M M é linear, isto é,

  ∈ ) →

  R ( X , Y )( Z W ) = R ( X , Y ) Z R ( X , Y ) W + + R ( X , Y ) f Z = f R ( X , Y ) Z

  ∞

  X f C ( M ) , Z , W ( M ) ;

  ∈ ∈

  X

  ( )

  (iii) (Primeira Identidade de Bianchi). Para quaisquer X , Y, Z M vale

  ∈ ( )

  • ( ( ) + ) =

  R

  X Z R Y , Y , Z , X

  X R Z Y 0.

  

Observação 1.2.1. Uma análise da proposição acima mostra que a necessidade do aparecimento do

( )

  termo Z na definição de curvatura está ligado ao fato de desejarmos que a aplicação R X , Y :

  ∇ [

  X ,Y ]

  X X

  ( ( ) M M seja linear.

  ) →

  De agora em diante, usaremos a notação R ( X , Y ) Z , T X , Y, Z, T ) .

  h i = ( E temos as seguintes propriedades decorrentes das anteriores.

  X

  ( ) Proposição 1.2.2. Para quaisquer X, Y, Z, T M são válidas as seguintes relações:

  ∈

  (a) ( X , Y, Z, T ) + ( Y , Z, X, T ) + ( Z , X, Y, T ) = (Bianchi); (b) ( X , Y, Z, T Y , X, Z, T ) ;

  ) = −( ( )

  (c) X , Y, Z, T X , Y, T, Z ;

  ) = −( ( ) = ( )

  (d) X , Y, Z, T Z , T, X, Y .

  É conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas ( , x ) em torno U

  

  do ponto p M . Indicaremos = E . Ponhamos

  ∈ i x i

  R ( E , E ) E = R E . (1.3)

  ∑

  i j k ijkl l l

  ( ) Assim R são as componentes da curvatura R em U , x .

  ijkl Relacionado com o tensor curvatura está a curvatura seccional, que passaremos a definir.

  Dado um espaço vetorial V e x, y V , indicaremos por x y a expressão

  

∈ | ∧ |

  q

  2

  2

  2 x y x , y ,

  

| | | | − h i

  que representa a área do paralelogramo bi-dimensional determinado pelo par de vetores x , y

  V

  ∈ Definição 1.2.2. Dado p

  M e um subespaço bi-dimensional σ T M, o número real

  ∈ ⊂ p ( x , y, x, y )

  K ( σ ) = K ( x , y ) = ,

  2 x y

  | ∧ |

  • by e cx
  • dy sejam linearmente independentes, temos que
  • by
  • dy
  • by , cx
  • dy , ax
  • by , cx
  • +

    dy
  • dy , ax
  • by , cx
  • dy
  • dy , ax
  • by , cx
  • dy
  • by , cx
  • dy
  • by , cx
  • dy
  • dy
  • dy
  • dy

  • b
  • dy
  • +

    by
  • dy

  Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta frequência que elas merecem nomes. Seja x = E n um vetor unitário em T p

  2 = K ( x , y ) .

  |

  cx

  ∧

  ax

  ( ax + by , cx + dy , ax + by , cx + dy ) |

  Portanto, K ( ax + by , cx + dy ) =

  2 ( x , y, x, y ) .

  bc )

  = ( ad −

  x , y, x, y )

  )(

  2

  2adbc + b

  2 c

  −

  2

  2 d

  a

  ) = (

  x , y, x, y

  (

  2

  2 c

  b

  ) +

  x , y, x, y

  (

  adbc

  M ; tomemos uma base ortonormal

  {

  E

  =

  ( E

  1 Ric p

  j =

  

  1 n n

  K ( p ) =

  x , E i i e

  )

  x , E i

  (

  R

  h

  1

  i

  1 ,

  ∑

  1

  −

  1 n

  −

  1 n

  ) =

  x

  (

  M ortonormal a x e consideremos as seguintes médias: Ric p

  1 } do hiperplano de T p

  −

  , E n

  · · ·

  ) −

  (

  x , y, x, y

  )

  b

  

) +

  x , cx

  (

  a

  ) = =

  ax

  (

  M , temos também que

  T p

  ∈

  e, usando a linearidade, a Proposição e o fato de que ( x , x, y, z ) = 0 para todo x, y, z

  2

  bc

  y , cx

  −

  ad

  = (

  2

  |

  cx

  ∧

  ax

  |

  tais que ax

  ∈ R

  ∈ σ . De fato, dados a, b, c, d

  Observe que K não depende da escolha dos vetores x, y

  onde x , y é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p.

  (

  ) =

  adbc

  ) +

  ) −

  x , y, x, y

  (

  2

  2 d

  a

  ) =

  x , y, y, cx

  (

  2 c

  )

  y , x, x, cx

  (

  bca

  x , y, y, cx

  ad

  (

  adb

  ) +

  x , y, x, cx

  (

  2 d

  a

  ) =

  y , x, ax

  

(

  bc

  ) +

  x , y, ax

  (

  j ) . As médias acima são denominadas, respectivamente, curvatura de Ricci na direção de x e curvatura escalar em p. Portanto, podemos escrever a curvatura escalar da sequinte forma:

  1

  ( ) = ( , E ) , Ej . (1.4)

  K p R E E

  ∑ h i j i i ( )

  n n

  1

  −

  i j

  6=

  Vamos provar que essas médias não dependem da escolha das correspondentes bases ortonormais de T M . p

  M T M x Tr z R x y p × p → 7→ Proposição 1.2.3. Q é uma aplicação bilinear simétrica.

  R Considere a seguinte aplicação Q : T dada por Q ( , y ) = ( ( , z ) ) .

  Demonstração. Com efeito, considerando o referencial ortonormal de T M escolhido acima, p temos que n n

  

( ) = ( ) = ( ) = ( )

Q x , y x , E , y, E y , E , x, E Q y , x .

  

∑ i i ∑ i i

= =

  i 1 i

  1 Logo, Q é simétrica. Além disso, n Q ( x αy , z ) = , E , z, E

  • ( x αy )

  ∑

  i i i = 1 n n

  = ( ) + ( )

  x , E , z, E α y , E , z, E

  ∑ i i ∑ i i

  1

  i = 1 i =

  

= Q ( x , z ) + αQ ( y , z )

R

  para todos x, y, z T M e α . Usando a simetria e a bilinearidade na primeira entrada de p

  ∈ ∈ Q obtemos assim, a sua bilinearidade.

  Notemos que

1 Q ( x , x ) = Ric ( x ) ,

  p n

  1

  −

  logo, a curvatura de Ricci na direção de x está bem definida de tal modo que não depende da base de T M escolhida. p

  Por outro lado, à forma bilinear Q em T M corresponde uma aplicação linear auto-adjunta p

  J : T M T M , dada por p → p

  ( )

  Jx , y Q x , y ,

  h i = para todo x, y T M .

  ∈ p

  Portanto,

  1 Ric ( x ) = Jx , y . p

  h i

  1 n

  −

  Neste caso, n n

  1

  

( ) = ) ( ) = ( ) ( )

  tr J JE , E n

1 Ric E n 1 nJ p .

  ∑ h

  1 i i = ( − ∑ p i − n

  = =

  i 1 i

  1 Consequentemente J ( p ) também não depende da forma bilinear simétrica escolhida.

  1 Observe que Q é um tensor de ordem 2 e a forma bilinear Q é, às vezes, chamada de n

  1

  − tensor de Ricci .

1.3 Imersões Isométricas

  Seja x : M M uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma

  →

  variedade Riemanniana M de dimensão k = . A métrica Riemanniana de M induz + n m de maneira natural uma métrica Riemaniana em M: se v , v T M , define-se v , v p

  1 2 ∈ h

  1 2 i = dx ( v ) , dx ( v . Nesta situação, x passa a ser uma imersão isométrica de M em M. p p

  h

  1 ) i

2 O intuito desta seção é estudar as relações entre as geometrias de M e M. Inicialmente

  notamos que, para cada p M , existe uma vizinhança U M de p tal que x ( U M é

  ∈ ⊂ ) ⊂

  uma subvariedade de M. Isto quer dizer que existe uma vizinhança U M de x ( p ) e um

  ⊂

  k k

  R

  difeomorfismo ϕ : U V em um aberto V do R , tais que ϕ aplica difeomorficamente

  → ⊂

  n k

  R ( x U U em um aberto do subespaço R .

  ) ∩ ⊂ ( )

  Para simplificar a notação, identificaremos U com x U e cada vetor v T M , q U , com

  ∈ q ∈ (

  dx v T M . q ) ∈ x ( q )

  Para cada p M , o produto interno em T M decompõe T M na soma direta

  ∈ ( ) ( )

  x p x p

  ⊥ = ) ,

  T M T M T M

  ( ) p ⊕ ( p

  x p

  ⊥ onde ( T M ) é o complemento ortogonal de T M em T M .

  p p x ( p )

  ⊥

  Denominamos espaço normal da imersão x em p ao conjunto ( T M ) . Assim, cada v T M , p

  ∈ x ( p )

  pode ser escrito como T N T N

  ⊥

) + = v v v , v T M e v T M . ∈ p ∈ ( p Diz-se que v T

  é a componente tangencial de v e v N a componente normal de v. Tal decomposição

  )

  X Y

  − ∇

  X Y

  (∇

  1 são extensões de X e Y, respectivamente, então temos

  1 e Y

  1 . Com efeito, se X

  1 e Y

  não depende das extensões X

  X , Y

  X

  (

  Afirmamos que A

  (1.5) é um campo local em M normal a M.

  X Y ) N

  = (∇

  X Y :

  

− ∇

  X Y

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