Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena

  Maceió, Brasil Março de 2011 Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz

  Dissertação de Mestrado na área de concen- tração de Sistemas Dinâmicos submetida em 15 de Março de 2011 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Univer- sidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

  Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira

  Maceió, Brasil

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale L935p Lucena, Rafael Nóbrega de Oliveira.

  

Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz / Rafael

Nóbrega de Oliveira Lucena. – 2011. 79 f. Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

  Instituto de Matemática. Maceió, 2011. Bibliografia: f. 78-79.

1. Ergódico. 2. Lorenz, Modelo geométrico de. 3. Atrator. I. Título.

  

CDU: 517.938

  Resumo

  Este trabalho tem sua motivação no modelo geométrico construído para aproximar o comportamento das soluções das equações de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em [17] e Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico. Essencialmente ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações, uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidi- mensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. A primeira faz uso de um operador (operador de transferência) agindo no espaço das funções de variação limitada, enquanto que a segunda utiliza o teorema de representação Riesz bem como algumas outras propriedades topológicas. Abstract

  This work has its motivation in the study of the ergodic properties of the Lorenz geomet- ric model, constructed to approximate the behavior of solutions of the Lorenz equations. Simultaneously, Afraimovich in [17] and Guckenheimer and Williams [18], constructed a geometric model that mimics the dynamics of the original Lorenz equations. Here, we build ergodic physical measures for two types of applications that arise from the Lorenz geometric model. The first one is a piecewise expanding one-dimensional map and the second is a two-dimensional application wich contracts the leaves of an invariant foliation.

  To construct the ergodic physical measure for the one dimensional Lorenz map, we make use of an operator (transfer operator) acting in the space of bounded variation func- tions, while the second uses the Riesz representation theorem and some other topological properties. Agradecimentos Agradeço a Deus por minha vida perfeita.

  A meus pais Eudes Lucena e Maria das Neves pelo amor e educação, que me deram a sensibilidade necessária para encarar a vida da maneira correta. E por todas as inúmeras oportunidades.

  A minha perfeita esposa, namorada e amiga Cibelle Lucena. Linda demais! Ela é tudo na minha vida. Juntos desde 28/12/1999 (eu aos 15 e ela aos 13 anos). Obrigado Deus! Ao meu grande amigo/matemático Krerley Oliveira. Pela sólida e sincera orientação e direção que ele me concedeu durante esses anos de trabalho. Desejo tudo de bom para ele. Aos meus professores do CPMAT, Prof. Marcos Petrúcio, Prof. Adam Corcho e Prof. Amauri Barros que apoiaram minha entrada no mestrado. Aos colegas de classe Giovane Ferreira, Adina Rocha, Marcio Silva, Diogo Albuquerque, Fábio Honorato, Douglas Cedrim e Adalgisa Mendonça.

  Aos meus grandes amigos Aníbal e Pedro, que mesmo longe, sempre me dão muita força, alegria e muitos risos. Desejo a todos, amigos iguais a eles. A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) pelo apoio finan- ceiro. A todos estes eu agradeço por tudo. Introdução

  Estudado pela primeira vez no início dos anos 60 por E. Lorenz, o fluxo descrito pelas equações polinomiais ˙x = 10y

  − 10x ˙y = 28x

  − y − xz

  8 ˙z = xy z

  −

  3 trouxe um impacto positivo no estudo dos Sistemas Dinâmicos. A motivação original de Lorenz era estudar os fenômenos naturais relacionados com a previsão climática. Tomando conhecimento através de Saltzmann de alguns sistemas de equações relacionados com o clima, Lorenz decidiu utilizar a nova tecnologia computacional, que desabrochava naquela época, em equações simplificadas descritas acima dos modelos de Saltzmann.

  No estudo dessas equações, Lorenz se deparou com um estranho fenômeno, desconhecido até então, a sensibilidade às condições iniciais. Isso gerou a noção de atrator estranho, que veio a ser estudada com intensidade nos anos 70 e 80. Apesar de ser um tópico relativa- mente clássico em Sistemas Dinâmicos e de claro interesse em áreas mais aplicadas, muitas questões relevantes só foram respondidas recentemente, como a existência de medidas físi- cas, e várias outras continuam em aberto.

  O objetivo do projeto é estudar algumas propriedades ergódicas do modelo geométrico de Lorenz, como a existência de medidas ergódicas e físicas, para as aplicações que estão envolvidas no modelo.

  Com este intuito o capítulo 1 trata da matemática necessária para a construção teórica dos resultados principais. Nele são abordados tópicos de EDO, teoria da medida, teoria ergódica. No capítulo 2 inicia-se a discussão sobre o modelo geométrico de Lorenz. A construção do modelo, aplicação de Poincaré do fluxo e propriedades das funções coor- denadas são os tópicos abordados neste capítulo. Veremos que a aplicação de Poincaré,

  1

  1

  1

  1 P : [ , ] , ] − × [− \ Γ −→ R, do modelo geométrico pode ser escrita como

  2

  2

  2

  2 P (x, y) = (f (x), g(x, y)), isto é, uma das funções coordenadas é unidimensional. Esta propriedade é bastante útil para o estudo do modelo, e dela, surgem várias outras propriedades a respeito do modelo mações expansoras por pedaços, provada pela primeira vez por Lasota e Yorke em [21]. Veremos que o número destas medidas que são absolutamente contínuas com relação a medida de Lebesgue é limitado pelo número de singularidades da aplicação. No nosso caso, uma vez que a aplicação envolvida com o modelo geométrico possui uma única sin- gularidade, teremos unicidade. A existência é provada usando-se o chamado Operador de Transferência (ou de Perron-Frobenius). Finalizamos o trabalho com o capítulo 4. Nele construímos uma medida ergódica e física para a aplicação de Poincaré do modelo. Esta construção se baseia na existência da medida ergódica e absolutamente contínua para a aplicação unidimensional f, do modelo geométrico e no teorema de representação de Riesz.

0.1 Preliminares

  0.1.1 Equações Diferenciais Ordinárias m

  1

  de classe C definido no Nesta seção, f denotará um campo de vetores f : E −→ R m aberto E ⊂ R e φ : [a, b] × E −→ E denotará o fluxo determinado por f, onde [a, b] é o

  ′ intervalo maximal da solução de x = f (x). s

  Definição 0.1.1. A variedade estável W (x) do ponto x u ∈ E é o conjunto dos y ∈ E tais que lim φ t (y) = x analogamente, a variedade instável W (x) do ponto x t ∈ E é o conjunto

  →∞ φ t (y) = x.

  dos y ∈ E tais que lim t

  →−∞ n m Definição 0.1.2.

  Dados dois campos de vetores f : E e f : E

  1

  1

  2

  2

  −→ R −→ R

  1

  2

  1

  2

  e seus fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são t t

  1 2 t t

  diferenciavelmente conjugados se existe um difeomorfismo g : E

  1 2 , chamado de

  −→ E conjugação diferencial, tal que para todo t ∈ R,

  2

  1

  φ t ◦ g = g ◦ φ t n m Definição 0.1.3. Dados dois campos de vetores f : E e f : E e seus

  1

  1

  2

  2

  −→ R −→ R

  1

  2

  1

  2

  fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são topologicamente t t

  1 2 t t

  conjugados se existe um homeomorfismo g : E , chamado de conjugação topológica,

  1

  2

  −→ E tal que para todo t ∈ R,

  2

  1

  φ t t ◦ g = g ◦ φ Definição 0.1.4.

  Uma singularidade x de f é hiperbólica se todos os autovalores gener- m

  Definição 0.1.5. é uma superfície imersa de classe Dizemos que um conjunto S ⊂ R k m

  1

  1 C e dimensão k se existe uma aplicação injetora g : R de classe C tal que k k m k −→ R g(R ) = S e a aplicação linear Dg : R .

  −→ R é injetora para cada x ∈ R Exemplo 0.1.1. Cada órbita não compacta de f, pela unicidade e diferenciabilidade

  1

  2

  (campo de classe C ), é uma superfície imersa de classe C e dimensão 1, pois a trajetória n

  2 ′ ′

  x : R (t) = f (x(t)) (t) = f (x(t)), como é injetora, de classe C e x

  −→ R 6= 0. De fato, x

  1 ′

  1

  2

  f e x(t) são C , pela regra da cadeia temos que x é de classe C e x(t) de classe C . Teorema 0.1.1

  (da Variedade Estável). Seja x m s ∈ E uma singularidade hiperbólica do campo de vetores f : E . A variedade estável W (x ) é uma superfície imersa −→ R

  

1 s m

  de classe C e o espaço tangente a W (x ) é o subespaço vetorial de R gerado pelos autovetores generalizados associados aos autovalores de Df (x ) com parte real negativa. Demonstração. Ver [15] página 296. Observação 0.1.1.

  O resultado dual vale para variedade instável. Teorema 0.1.2

  (Hartman - Grobman). Seja x m ∈ E uma singularidade do campo de m

  1

  vetores f : E de classe C definido no aberto E . Se x é uma singulari- −→ R ⊂ R dade hiperbólica, então f em x é localmente topologicamente conjugado ao campo linear m m Df (x ) : R .

  −→ R Demonstração. Ver [15] página 291.

0.1.2 Resultados de Teoria da Medida

  Neste capítulo, a tripla (X, X, µ) denotará um espaço de medida, onde X é um conjunto

  • (X, X) será usado para qualquer, X a σ-álgebra associada e µ uma medida. O símbolo M denotar o espaço das funções X-mensuráveis não negativas definidas em X e tomando seus n o símbolo B U valores em R = R ∪ {−∞, +∞}. Além disso, dado um aberto U ⊂ R n será usado para denotar a classe dos borelianos de U, em particular B R será usado para n
  • n denotar a classe dos borelianos de R . Da mesma maneira os símbolos Leb U e Leb R (ver [3] pag. 239 para esta definição), serão usado para denotar a classe dos conjuntos Lebesgue n mensuráveis de U e de R respectivamente.

      Agora apresentaremos algumas propriedades técnicas sobre conjuntos que serão usadas algumas vezes nesta seção.

      ∞ ∞

      [ [ 1. uma sequência (E k )

      1 2 k E k = A n ;

      ⊂ X crescente E ⊂ E ⊂ · · · ⊂ E ⊂ · · · tal que k n =1

      =1 ∞ ∞

      [ [ )

      E = A 2. uma sequência (E k

      1 2 k k n ;

      ⊂ X decrescente E ⊃ E ⊃ · · · ⊃ E ⊃ · · · tal que n =1 n =1

      ∞ ∞

      [ [ 3. uma sequência (F k ) m n = F k = A n ;

      ⊂ X tal que F ∩ F ∅ para n 6= m e k n k =1 =1 [ Demonstração.

      1. Defina E k = A n desta maneira construímos os termos da sequên- n

      =1

      cia (E k ) procurada;

      ∞ k = A n [

      2. Defina E ; n =k

    3. Dada uma sequência arbitrária (A n ) construa a sequência encaixada do item 1.. A

      = E = partir dela defina F k k k −1 onde E \ E ∅; Proposição 0.1.1. Seja (X, X, µ) um espaço de medida.

      !

      ∞

      [

      1. Se (A n ) A n = lim µ(A n );

      ⊂ X é uma sequência crescente, então µ n n −→∞

      =1

      2. Se (A n ) n ) < , então ⊂ X é uma sequência decrescente e µ(A ∞ para algum n

      !

      ∞

      \ µ A n = lim µ(A n ); n n −→∞ =1

      Demonstração.

    1. Defina a sequência (E k ) por E = A e E k = A k k . Esta

      1 1 −1

      \ A sequência é disjunta e vale

      

    ∞ ∞

      [ [ k k E k = A k , n

    =1 =1

    [

      E = A além disso temos que k n . Assim k

      =1

      ! !

      

    ∞ ∞

      [ [ µ A n = µ E k n k

      

    =1 =1

    n !

      [ = lim µ E k n k n =1

      X = lim µ(E k ) n k

      =1 n !

      [ = lim µ E k n k

      =1

      = lim µ(A n ) n T

      ∞ 2. Defina A = A n e seja A n tal que µ(A n ) < n = A n n . n ∞ B \ A para n ≥ n =1

      S

      ∞

      Então B n n e B n = A n

    • 1

      ⊂ B para todo n ≥ n n =n \ A. Portanto, usando a propriedade anterior e o fato de µ(A n ) < ∞, temos

      µ(A n ) n − µ(A) = µ(A \ A)

      !

      ∞

      [ = µ B n =n n = lim µ(B ) n n = lim µ(A n n ) n \ A = lim µ(A n ) µ(A n ) n n − lim = µ(A n ) µ(A n ).

      − lim n Consequentemente µ(A) = lim n µ(A n ).

      Teorema 0.1.3 (Teorema da Convergência Monótona). Seja (f n ) n uma sequência monó-

    • tona crescente em M que converge para f pontualmente. Então

      Z Z f dµ = lim f n dµ. (1) rável(ver [2], página 12, corolário 2.10). Como f n n

    • 1

      ≤ f ≤ f temos que Z Z Z f n dµ f n dµ f dµ

    • 1

      ≤ ≤ para todo n ∈ N n ≥ 1. Portanto Z Z lim f n dµ f dµ.

      ≤ lim Agora considere 0 < α < 1 e seja ϕ uma função simples e mensurável satisfazendo 0 ≤ ϕ

      ≤ f. Seja A n = n (x)

      {x ∈: f ≥ αϕ(x)},

      ∞

      [ assim A n n n e X = A n . Então vale a seguinte desigualdade ∈ X, A ⊂ A +1 n =1

      Z Z Z αϕdµ f n dµ f n dµ (2) A A n n ≤ ≤

      R Uma vez que a função de conjunto definida por λ(E) = ϕdµ para todo mensurável E

      ∞

      [ E n ) é encaixada com X = A n temos que

      ∈ X é uma medida e sequência (A n

      =1

      Z Z ϕdµ = lim ϕdµ. A n tomando o limite em (2) encontramos a relação Z Z

      α ϕdµ f dµ n ≤ lim e fazendo α −→ 1 obtemos

      Z Z ϕdµ f n dµ.

      ≤ lim Além disso, como ϕ é uma função simples arbitrária em M satisfazendo 0 ≤ ϕ ≤ f

    • concluímos que

      Z Z Z f dµ = sup ϕdµ f n dµ. ϕ ≤ lim Unindo este fato com a desigualdade oposta obtida inicialmente obtemos (1).

    • Lema 0.1.1 (Lema de Fatou). Se (f n ) n é uma sequência em M (X, X), então

      Z Z lim inf f n dµ f n dµ.

      ≤ lim inf Demonstração. Seja g m = inf m , f m , m n

    • 1

      {f · · · }, assim g ≤ f sempre que m ≤ n. Portanto Z Z g m dµ f n dµ m

      ≤ ≤ n, logo Z Z g m dµ f n dµ.

      ≤ lim inf Uma vez que a sequência (g m ) é crescente e converge para o lim inf f n , aplicamos o teorema da Convergência Monótona para obter

      Z Z lim inf f n dµ = g m dµ (3) Z f n dµ. (4)

      ≤ lim inf Teorema 0.1.4

      (da Convergência Dominada). Seja (f n ) n uma sequência de funções in- tegráveis que converge µ-qtp para uma função real mensurável f . Se existe uma função integrável g tal que n

      |f | ≤ g para todo n, então f é integrável e Z Z Z f dµ = lim f n dµ = lim f n dµ. n n

      −→∞ −→∞

      Demonstração. Seja E = n (x) {x|f 6−→ f(x)}. Inicialmente, vamos supor que a convergên- c cia é em todo o conjunto. Feito isso, basta aplicar o resultado a sequência g n = f n χ E c χ ) converge para f em todo ponto. convergindo para g = f n E . portanto, suponha que (f n n n

      | ≤ g temos que |f| ≤ |g| portanto f é integrável. Uma vez que g + f ≥ 0 Uma vez que |f aplique o lema de Fatou para obter

      Z gdµ + Z f dµ =

      (6) =

      Z gdµ − lim sup

      Z f n dµ (12) =

      Z gdµ + lim inf −

      Z f n dµ (11) =

      Z gdµ −

      − f n )dµ (10) = lim inf

      Z (g

      (9) ≤ lim inf

      − f n )dµ

      ≤ Z lim inf (g

      Z lim inf (g − f n )dµ (8)

      (7) =

      Z lim (g − f n )dµ

      (g − f)dµ

      Z (g + f )dµ

      Z f dµ = Z

      Z gdµ −

      (5) Agora façamos a mesma coisa para g − f n , pois g − f n ≥ 0,

      Z f n dµ.

      Z f dµ ≤ lim inf

      Z f n dµ, donde

      = Z gdµ + lim inf

      Z gdµ + Z f n dµ

      (g + f n )dµ = lim inf

      ≤ lim inf Z

      ≤ Z lim inf (g + f n )dµ

      = Z lim inf (g + f n )dµ

      = Z lim (g + f n )dµ

      Z f n dµ, (13) donde Z Z lim sup f n dµ f dµ. (14)

      ≤ Portanto

      Z Z Z lim sup f n dµ f dµ f n dµ, (15)

      ≤ ≤ lim inf donde Z Z f = lim f n dµ.

      Definição 0.1.6.

      Uma sequência de funções reais mensuráveis (f n ) é dita convergir em medida para uma função real mensurável f se lim µ ( n (x)

      (16) n {x ∈ X : |f(x) − f | ≥ α}) = 0

      −→∞

      para todo α > 0. Uma sequência de funções reais mensuráveis (f n ) é dita Cauchy em medida se lim µ ( m (x) n (x) (17) n,m {x ∈ X : |f − f | ≥ α}) = 0

      −→0 para todo α > 0.

      Teorema 0.1.5.

      Seja (f n ) uma sequência de funções reais mensuráveis que é Cauchy em medida. Então existe uma subsequência que converge µ-qtp e em medida para uma função real e mensurável f . Demonstração. Considere uma subsequência (g k ) n ) tal que o conjunto E k = k (x)

    • 1

      ⊂ (f {x|g − S

      ∞ −k −k −(k−1)

      g k (x) k ) < 2 k = E j k k ) < 2 . Seja F tal que F .

      | ≥ 2 } é tal que µ(E j ∈ X e µ(F k , então =k Se i ≥ k ≥ j e x /∈ F i (x) j (x) i (x) i (x) j (x) j (x) (18)

      −1 +1

      |g − g | ≤ |g − g | + · · · + |g − g |

      1

      1

      1 + < . (19) ≤ · · · + i j j

      

    −1 −1

      2

      2

      2 T

      ∞

      Seja F = k =1 temos que F ∈ X e µ(F ) = 0. Segue-se que (g \ F . j ) converge em X

      ( lim g j (x) se x / ∈ F f (x) = ,

      0 se x ∈ F então (g j ) converge µ-qtp para a função real mensurável f . Fazendo i k , então −→ ∞ em (4), concluímos que se j ≥ k e x /∈ F j (x) .

      1

      1 |f(x) − g | ≤ ≤ j k

      −1 −1

      2

      2 Isto mostra que a sequência (g j ) converge uniformemente para f no complementar ) converge em medida para f , sejam α e ǫ números reais de cada F k . Para ver que (g j k ) < 2 < inf (α, ǫ). Se j −(k−1) positivos e escolha k suficientemente grande tal que µ(F

      ≥ k a desigualdade acima mostra que j (x) j (x) −(k−1) {x ∈ X : |f(x) − g | ≥ α} ⊂ {x ∈ X : |f(x) − g | ≥ 2 } k . j (x) k ) < ǫ para todo j j ) ⊂ F

      | ≥ α}) ≤ µ(F ≥ k e portanto (g Além disso, µ({x ∈ X : |f(x) − g converge em medida para f.

      Definição 0.1.7.

      Seja (X, X) um espaço mensurável. Uma carga é uma função real λ definida em uma σ-álgebra X tal que: 1. λ(∅) = 0;

      !

      ∞ ∞

      [

      X 2. λ A n = λ(A n ) para toda sequência (A n ) n são conjuntos n n ⊂ X onde os A

      =1 =1

      disjuntos; !

      ∞ ∞

      [

      X

      3. Se A = A n , onde a sequência (A n ) λ(A n ) é n ⊂ X é disjunta, então a série n

      =1 =1 ∞

      X ) absolutamente convergente, i.e., n n |λ(A | < +∞.

      =1

      Observação 0.1.2. Observe que, por definição, uma carga não assume os “valores” + ∞ e

      −∞. Além disso, no item 3, se isto não fosse verdade a carga não estaria bem definida, uma vez que pelo teorema de Riemann, poderíamos reordenar os termos da série de modo Definição 0.1.8. Seja λ uma carga em X. Um conjunto P é dito ser positivo com relação a λ se λ(E ∩ P ) ≥ 0 para todo E ∈ X. Por outro lado, um conjunto N é dito ser negativo com relação a λ se λ(E ∩N) ≤ 0 para todo E ∈ X. Um conjunto M é dito ser um conjunto nulo para λ se λ(E

      ∩ M) = 0 para todo E ∈ X. Observe que a união de conjuntos positivos é positivo. De fato, sejam P

      1 , P 2 dois

      1 2 e observe que

      ∪ P conjuntos positivos e E ∈ X. Seja P = P E

      1

      2

      ∩ P = (P ∩ E) ∪ (P ∩ E) c = (P

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ ([P ∩ (P ∩ E)] ∪ [P

      1 ∩ (P ∩ E)]) c

      = ((P

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ [P ∩ (P ∩ E)]) ∪ [P

      1 ∩ (P ∩ E)] c

      = [(P )

      1

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ P ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E)] ∪ [P c 1 ∩ (P ∩ E)] = [P ] .

      1

      1

      2

      2

      ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))] ∪ [(P

      1 ∩ E) ∩ P

      Uma vez que esta última união é disjunta temos c λ(E

      1

      1

      2 2 ])

      ∩ P ) = λ ([P ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))] ∪ [(P

      1 ∩ E) ∩ P c

      = λ ([P ])

      1

      1

      2

      2

      ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))]) + λ ([(P

      1 ∩ E) ∩ P

      ≥ 0 pois P e P são positivos.

      1

    2 Feito essa observação, podemos enunciar o teorema de Decomposição de Hahn que será a base para a prova do teorema de Radon-Nikodým.

      Teorema 0.1.6 (Teorema de Decomposição de Hahn). Seja λ uma carga em X então existem conjuntos P e N tais que X = P

      ∪ N e P ∩ N = ∅ tal que P é positivo e N é negativo com relação a λ. Demonstração. Seja P a classe de todos os conjuntos positivos. P é não vazia, uma vez n )

      ⊂ P uma sequência de conjuntos tais que que ∅ ∈ P. Sejam α = sup {λ(A) : A ∈ P} e (A

      ∞

      [ α = lim λ(A n ) e seja P = A n . Uma vez que a união de conjuntos positivos e um conjunto n

      =1

      positivo, a sequência (A n ) pode ser escolhida de modo que seja monótona crescente, pois podemos definir uma nova sequência de positivos com estas mesmas propriedades fazendo S k

      ∞

      [ λ(E A ) n

      ∩ P ) = λ(E ∩ n

      =1 ∞

      [ = λ( E n ) n ∩ A

      =1

      = lim λ(E n ) ∩ A

      ≥ 0 visto que todos os termos da sequência são maiores ou iguais que zero. Além disso temos ) = λ(P ) < que α = lim λ(A n

      ∞. Agora seja N = X \ P . N e P serão os nossos candidatos para formar a decomposição. Para mostrar que eles de fato formam a decomposição procurada devemos provar que N é negativo, pois já foi mostrado que P é positivo e as outras propriedades (X = P ∪ N e N ∩ P = ∅) são obvias. Façamos isto por contradição supondo que esta afirmação é falsa. Então existe um mensurável E ⊂ N tal que λ(E) > 0. E não pode ser um conjunto positivo, pois caso contrário E ∪ P seria positivo e teríamos λ(E ∪ P ) = λ(E) + λ(P ) > α, contradizendo a definição de α. Então E contém um conjunto de carga negativa. Seja n

      1

      −1 o menor natural tal que E contém um conjunto E com λ(E ) . Agora observe que

      1

      1

      ≤ n

      1 λ(E ) = λ(E) ) > λ(E) > 0.

      1

      1

      \ E − λ(E

      1 não pode ser um conjunto positivo pois se P 1 = P 1 ) temos que

      ∪ (E \ E Portanto E \ E P

      1 é positivo e λ(P 1 ) = λ(P

    1 )) = λ(P ) + λ((E

    1 )) > α contradizendo mais uma

      ∪ (E \ E \ E ) contém um conjunto de carga negativa. Seja n

      1

      2

      vez a definição de α. Portanto (E \ E −1 contém um conjunto mensurável E tal que λ(E ) .

      1

      2

      2

      o menor natural tal que E \ E ≤ n

      2

      ) não é um conjunto positivo, assim nós tomamos

      1

    2 Mais uma vez, como antes, E \ (E ∪ E

      −1 o menor natural n ) contém um mensurável E tal que λ(E ) .

      3

      1

      2

      3

      3

      tal que E \ (E ∪ E ≤ n

      3 Repetindo este argumento, seja n k o menor natural tal que existe um mensurável E k

      ⊂ −1

      E k k )

      1 2 −1 com λ(E . Assim nós encontramos uma sequência disjunta

      ∩ E ∩ · · · ∩ E ≤ n k

      ∞

      [

      1 (E k ) de conjuntos mensuráveis tais que λ(E k ) . Seja F = E k , assim temos

      ≤ − n k k

      =1

    ∞ ∞

      X X

      1 λ(F ) = λ(E k ) < 0. ≤ − k =1 k =1 n k

      1 −→ 0. Visto que as cargas não assumem −∞, temos que esta última série converge e que n k

      Seja G um subconjunto de E \F , como este conjunto não pode ser positivo tome G ⊂ E \F

      1 tal que λ(G) < 0. Para k suficientemente grande temos que λ(G) < contradizendo n k

      − 1 o fato de que n k é o menor natural tal que existe um E k k tal

      1 2 −1

      ⊂ E \ E ∩ E ∩ · · · ∩ E

      1 que λ(E k ) ≤ − . Consequentemente todo mensurável G ⊂ E \ F deve ter λ(G) ≥ 0. n k

      Portanto E \ F é um conjunto positivo para λ. Uma vez que λ(E \ F ) = λ(E) − λ(F ) > 0, concluímos que P ∪ (E \ F ) é um conjunto positivo com carga excedendo α, o que é uma contradição. Portanto N = X \ P é negativo para λ e a decomposição foi obtida. Definição 0.1.9.

      Seja λ uma carga em X e sejam P e N uma decomposição de Hahn para λ. A variação positiva e variação negativa de λ, são as seguintes medidas finitas, definidas respectivamente por

      λ (E) = λ(E λ (E) = ∩ P ) −λ(E ∩ N) para todo mensurável E ∈ X. A variação total de λ é a medida finita definida por

    • − (E) + λ (E).

      |λ|(E) = λ O lema seguinte torna bem definida a definição acima. Isto é, mostra que as variações positiva e negativas de λ não dependem da decomposição de Hahn escolhida. Devido a

      − +

      importância secundária de λ , λ neste texto, a demonstração do referido lema não foi dada. Porém, o leitor que se interesse pode consultar [2], página 82, lema 8.3. Lema 0.1.2. Sejam P , N e P , N duas decomposições de Hahn para λ e E

      1

      1

      2

      2

      ∈ X. Então λ(E ) = λ(E ) e λ(E ) = λ(E ).

      1

      2

      1

      2

      ∩ P ∩ P ∩ N ∩ N Definição 0.1.10. Uma medida λ em X é dita ser absolutamente contínua com relação a fato por λ << µ. Uma carga λ é absolutamente contínua com relação a carga µ quando a variação total |λ| de λ for absolutamente contínua com relação a |µ|. Observação 0.1.3.

      Sempre que a medida µ da definição acima estiver subentendida e não houver perigo de confusão, diremos apenas que λ é absolutamente contínua. Em geral, neste texto, usaremos este termo quando µ for a medida de Lebesgue m. Teorema 0.1.7

      (Radon-Nikodým). Sejam λ e µ medidas σ-finitas definidas em X e

    • suponha que λ << µ. Então existe uma função f (X, X) tal que

      ∈ M Z

      λ(E) = f dµ, E (20) E ∈ X.

      Mais ainda, a função f é unicamente determinada µ-qtp. Demonstração. Suponha inicialmente que as medidas λ e µ são finitas. Seja c > 0, P (c) e N (c) a decomposição de Hahn de X para a carga λ

      − cµ. Se k ∈ N considere a seguinte sequência de conjuntos mensuráveis k [ A = N (c), A k = N ((k + 1)c) A j .

      1 +1

      \ j

      =1

      Agora observe que os conjuntos A k k k k ∈ N são disjuntos e [ [ j =1 j =1 N (jc) = A j .

      Segue-se k −1 k −1 [ \ A k = N (kc) N (jc) = N (kc) P (jc). \ ∩ j j

      =1 =1

      Consequentemente, se E é um subconjunto mensurável de A k então E ⊂ N(kc) e E ⊂ P ((k

      − 1)c), portanto (k

      (21) − 1)cµ(E) ≤ λ(E) ≤ kcµ(E). Agora defina o conjunto B por

      ∞ ∞

      [ \ B = X A j = P (jc),

      \ assim teremos que B ⊂ P (kc) para todo k ∈ N. Isto implica que ≤ kcµ(B) ≤ λ(B)λ(X) < ∞ para todo k ∈ N, portanto µ(B) = 0. Uma vez que λ << µ, concluímos que λ(B) = 0.

      Defina f c por: (

      (k k − 1)c se x ∈ A f c (x) = se x ∈ B k ),

      Dado um mensurável E temos que E, é a união disjunta, E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ A k ∈ N, portanto segue-se de (2) que

      Z Z Z f c dµ (f c + c)dµ f c dµ + cµ(X). E E E ≤ λ(E) ≤ ≤

      −n

      Agora faça c = c n = 2 c de funções , n ∈ N, e obtenha a seguinte sequência f n

      Defina f c por: (

      −n

      (k k − 1)2 se x ∈ A f c (x) = . n se x ∈ B

      Daí concluímos Z Z

      −n

      f c dµ f c dµ + 2 µ(X) (22) n n E E ≤ λ(E) ≤ para todo n ∈ N. Seja m ≥ n, e observe que Z Z

      −m E E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) n ≤ λ(E) ≤ m

      Z Z

      −n E E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) m ≤ λ(E) ≤ n o que implica em

      Z

      −n

      f n m dµ µ(X), − f E ≤ 2 para todo E ∈ X. Seja E o conjunto dos pontos onde o integrando é positivo e negativo. Desta forma concluímos que Z

      −n+1

      f n m dµ µ(X), − f c converge em medida e em média para uma função f. Uma E ≤ 2 sempre que m ≥ n. Logo f n c n ∈ M , pelo teorema 1.4 podemos supor que f ∈ M vez que f

      . Mais ainda,

      Z Z Z Z f c dµ f dµ c c n n n − |f − f|dµ ≤ |f − f|dµ, E E E ≤ portanto através de (3) concluímos

      Z Z λ(E) = lim f c dµ = f dµ, n E para todo E ∈ X. Isto completa a prova da existência no caso em que λ e µ são medidas finitas. Agora provemos a unicidade µ-qtp de f. Com este intuito, suponha que f, h ∈ M

    • e que

      Z Z λ(E) = f dµ = hdµ E E

      =

      1

      {x|f(x) ≥ h(x)} e para todo E ∈ X. Decomponha X como união dos conjuntos E E =

      2

      {x|f(x) < h(x)}. Assim Z Z Z

      |f − h|dµ = |f − h|dµ + |h − f|dµ E E 1 2 Z Z = f h E E 1 − hdµ + − fdµ 2 = 0.

      Portanto f = g µ-qtp. Agora suponha que λ e µ são medidas σ-finitas. Seja (E n ) uma ) < sequência de subconjuntos tal que E n n +1 n

      ⊂ E ∞, para todo n ∈ N tal que µ(E

      λ(E n ) < n n definida em E tal que ∞. Use o resultado anterior para obter uma função h

      R h n = 0 no complementar de E n h n dµ. Se n n m e λ(E) = e isto implica E ≤ m então X ⊂ X que

      Z Z n . Pela unicidade de h n temos que h n (x) = h m (x) µ-qtp E E h n dµ = h m dµ para todo mensurável E ∈ X x n n = sup , h , n n ) é uma

      1

      2

      ∈ E sempre que n ≥ m. Agora defina f {h · · · , h }. Assim (f n sequência monótona crescente em M e seja f = lim f

    • Z λ(E n ) = f n dµ. n ) é uma sequência crescente de conjuntos cuja união é E segue-se do

      . Se E ∈ X então

      ∩ E E Uma vez que (E ∩ E teorema da Convergência Monótona que

      λ(E) = lim λ(E n ) ∩ E

      Z = lim f n dµ

      Z = f dµ. E Para mostrar a unicidade de f o raciocínio é exatamente o anterior.

      Definição 0.1.11. Sejam µ e λ medidas σ-finitas tais que λ << µ. Então a função f tal R que λ(E) = f dµ será camada de derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ. E

      Observação 0.1.4. Neste texto, frequentemente usaremos a expressão λ = f µ para indicar que f é a derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ. Portanto quando definirmos uma medida λ por λ = f µ queremos dizer que, para um conjunto mensurável E, λ(E) = R E f dµ.

      ′ ′ ′

      Seja (X, X, µ) um espaço de medida, (X , X ) um espaço mensurável e f : X −→ X uma função mensurável. A seguinte definição é do que vem a ser uma medida induzida em

      ′ ′ ′ (X , X ) por uma aplicação mensurável f cujo contradomínio é X .

      ′

      Definição 0.1.12. f ∗ µ : X −→ R definida por

      −1

      f (E)) ∗ µ(E) = µ(f é chamada de medida imagem de µ por f.

      Teorema 0.1.8 (Teorema de Mudança de Variável). Seja (X, X, µ) um espaço de medida,

      ′

      f : X uma função mensurável e f −→ X ∗ µ a medida imagem.

    a) Seja A

      ∗ µ) = Z X lim n g n d(f

      )) =

      Z X χ f 1

      (A )

      dµ =

      Z X χ A

      ◦ fdµ O resultado se estende, sem dificuldades técnicas, para funções simples, e por isto, omitirei esta parte. Para o caso mais geral considere uma sequência (g n ) de funções simples tal que 0 ≤ g n ≤ g n

      ≤ g ∀n ∈ N tal que g n −→ g. Então Z X gd(f

      ∗ µ) (23)

      (A

      = lim n Z X g n d(f

      ∗ µ) (24)

      = lim n Z X g n

      ◦ fdµ (25)

      = Z X lim n g n

      ◦ fdµ (26)

      Z

      ′

      −1

      Z X gd(f ∗ µ) =

      Demonstração.

      Z X g ◦ fdµ;

      b) Uma função mensurável g : X

      ′

      −→ R é f ∗ µ-integrável se, e somente se, g ◦ f é µ-integrável e neste caso vale

      Z X gd(f ∗ µ) =

      Z X g ◦ fdµ; Observação 0.1.5.

      Observe que no item b) não exigimos que g ≥ 0. Além disso, exigimos apenas a mensurabilidade de f , o que mostra o nível de generalidade da última (11).

      ′

      ) = µ(f

      ∈ X

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